On montre que tout courant positif fermé T, régularisable et à croissance faible dans une variété Kählerienne M est de Liouville relatif à la classe des applications holomorphes bornées sur le support de T et à valeurs dans une variété Kählerienne N de forme de Kähler exacte. On établit un théorème de type Casorati–Weierstrass pour le courant T. Aussi, on montre que si (M,ω) est Kählerienne complète de courbure de Ricci semi-positive à l'infini i.e. Ricω(x)⩾−α(r(x)) où α(t) decroit vers 0 à l'infini, alors M est de Liouville pourvu qu'il existe p>1 tel que λ1(M)⩾pα(0) et la fonction max(α(r),r−2) est p-sommable à l'infini.
We show that every regularized positif closed current T with slow growth on a Kähler manifold M is a Liouville current with respect to the class of holomorphic maps bounded on the support of T with values on a Kähler manifold N whose Kähler form is exact. We establish a Casorati–Weierstrass type theorem for the current T. Also we show that if (M,ω) is a complete Kähler manifold with nonnegative Ricci curvature at infinity, i.e., Ricω(x)⩾−α(r(x)) where α(t) is nonnegative and decreass to 0 at infinity, then M is a Liouville manifold provided that λ1(M)⩾pα(0) and the function max(α(r),r−2) is p-summable at infinity for some p>1.
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Asserda, Said; Kassi, M'hamed. Courants de type Liouville pour les applications holomorphes. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 9, pp. 751-756. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02558-X. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02558-X/
[1] Geometry of Manifolds, Academic Press, New York, 1964
[2] M. Blel, G. Raby, Courants algébriques et courants de Liouville, Prépublication de l'université de Poitiers
[3] An extention of E. Hopf's maximum principle with application to Riemannian geometry, Duke Math. J., Volume 25 (1958), pp. 45-56
[4] Liouville theorems for harmonic maps, Proc. Sympos. Pure Math., Volume 36 (1980), pp. 147-151
[5] Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1969
[6] Function Theory on Manifolds Which Possess a Pole, Lecture Notes in Math., 699, Springer-Verlag, 1979
[7] V. Guedj, Approximation of currents on complex manifolds, Prépublication de Paris Sud, 1997
[8] Curvature and holomorphic mappings of complete Kähler manifolds, Composito Math., Volume 73 (1990), pp. 125-144
[9] Théorèmes de types Liouville pour les courants positifs fermés, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 311 (2000), pp. 611-616
[10] Energy estimates and Liouville theorems for harmonic maps, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 23 (1990), pp. 563-592
[11] A Liouville theorem on a analytic space, J. Math. Soc. Japan, Volume 45 (1993) no. 2, pp. 301-311
[12] Liouville theorems, Proc. Sympos. Pure Math., American Mathematical Society, 1984
[13] H. Wu, The Bochner Technique in Differential Geometry, Math. Rep., Hardwood Academic, London
[14] A general Schwarz lemma for Kähler manifolds, Amer. J. Math., Volume 100 (1978), pp. 197-203
[15] Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifolds and their applications to geometry, Indiana Univ. Math. J., Volume 25 (1976), pp. 659-670
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