Soit Y=(Ys)s⩽1 un processus stochastique et X un vecteur aléatoire. Pour le critére de minimisation Lp, l'ensemble des meilleures approximations de X quand on ne connaît la trajectoire de Y que jusqu'à l'instant t est l'ensemble des Lp-médianes conditionnelles de X sachant (Ys)s⩽t. Si la trajectoire de Y n'est observée qu'en un nombre fini d'instants, on montre, dans certains cas, que la multiplication des instants d'observation permet de retrouver asymptotiquement la meilleure approximation possible de X.
Let Y=(Ys)s⩽1 be a stochastic process and X be a random vector. For the Lp-minimizing criterion, the set of best approximations of X we can get when the path of Y is known until time t is the set of conditionnal Lp-medians of X given (Ys)s⩽t. Assume that the path of Y is only observed in a finite set of times. In some cases, we show that the multiplication of the observation times allow us to rediscover asymptotically the best approximation of X we can get.
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Cadre, Benoît. Stabilité des médianes conditionnelles par rapport à des filtrations discrétisées. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 6, pp. 545-548. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02521-9. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02521-9/
[1] Stopping times and tightness II, Ann. Probab., Volume 17 (1989), pp. 586-595
[2] Meilleures approximations et médianes conditionnelles, Ann. Inst. H. Poincaré, Volume 21 (1985), pp. 197-224
[3] Convex Analysis and Measurable Multi-Functions, Lectures Notes in Math., 580, Springer, Berlin, 1977
[4] La multi-application médianes conditionnelles, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie Verw. Gebiete, Volume 67 (1984), pp. 279-282
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