Nous prouvons l'équivalence entre des inégalités de Sobolev logarithmiques généralisées et l'hypercontractivité de certaines équations de Hamilton–Jacobi et retrouvons sous cette hypothèse une inégalité de transport établie dans [5]. Ces résultats généralisent ceux de [3].
We prove the equivalence between a general logarithmic Sobolev inequality and the hypercontractivity of a Hamilton–Jacobi equation. We also recover that this property imply a transportation inequality established by [5]. These results provide a natural generalization of the work performed in [3].
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Gentil, Ivan; Malrieu, Florent. Équations de Hamilton–Jacobi et inégalités entropiques généralisées. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 5, pp. 437-440. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02513-X. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02513-X/
[1] Sur les inégalités de Sobolev logarithmiques, Panoramas et Synthéses, 10, Société Mathématique de France, Paris, 2000
[2] Solutions de viscosité des équations de Hamilton–Jacobi, Springer-Verlag, Paris, 1994
[3] Hypercontractivity of Hamilton–Jacobi equations, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 80 (2001) no. 7, pp. 669-696
[4] D. Cordero-Erausquin, W. Gangbo, C. Houdré, Inequalities for generized entropy and optimal transportation, 2002, Prépublication
[5] J.A. Carrillo, R.J. McCann, C. Villani, Kinetic equilibration rates for granular media and related equations: entropy dissipation and mass transportation estimates, Rev. Mat. Iberoamericana, 2002, à paraître
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