Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Supposons que (G,H) est une paire de Hecke et que H est engendré par un ensemble fini symétrique à k générateurs. Alors G/H possède une structure naturelle de graphe (en général avec boucles et arêtes multiples) dont les composantes connexes constituent une famille (Xi)i∈I de graphes finis connexes k-réguliers. Nous indiquons des critères pour que la taille de ces graphes finis soit ou non bornée, ou tende vers l'infini. Lorsque la taille des Xi tend vers l'infini, nous énonçons des critères pour que (Xi)i∈I soit une famille de graphes expanseurs, ainsi que divers exemples.
Let H be a subgroup of a group G. Suppose that (G,H) is a Hecke pair and that H is finitely generated by a finite symmetric set of size k. Then G/H can be seen as a graph (possibly with loops and multiple edges) whose connected components form a family (Xi)i∈I of finite k-regular graphs. In this Note, we analyse when the size of these graphs is bounded or tends to infinity and we present criteria for (Xi)i∈I to be a family of expanding graphs as well as some examples.
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Bekka, M.Bachir; Curtis, Robyn; de la Harpe, Pierre. Familles de graphes expanseurs et paires de Hecke. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 5, pp. 463-468. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02499-8. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02499-8/
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