Dans cette Note, nous étudions l'image numérique et la compacité de certains opérateurs de composition, définis sur un espace de Hilbert de séries de Dirichlet introduit par Hedenmalm, Lindqvist et Seip. Nous montrons que dans la plupart des cas, zéro est un point intérieur à cette image numérique. L'étude de la compacité fait apparaître un phénomène rappelant le théorème de Polya sur les marches aléatoires en dimension d : si la longueur du symbole de l'opérateur est d+1, et l'image du symbole est non-triviale, alors l'opérateur est non compact si d=1 ; compact, non Hilbert–Schmidt, si d=2 ; Hilbert–Schmidt si d⩾3.
In this Note, we study the numerical range and compacity of some composition operators, defined on a Hilbert space of Dirichlet series introduced by Hedenmalm, Linqvist and Seip. We show that most often, zero is the interior of this numerical range. The study of compacity exhibits a phenomenon which recalls Polya's theorem on random walks in dimension d: if the length of the symbol of the operator is d+1, and if its image is non-trivial, then the operator is non-compact if d=1; compact, non Hilbert–Schmidt, if d=2; Hilbert–Schmidt if d⩾3.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2002__335_4_325_0,
author = {Finet, Catherine and Queff\'elec, Herv\'e and Volberg, Alexander},
title = {Image num\'erique et compacit\'e d'op\'erateurs de composition sur un espace de {Hilbert} de s\'eries de {Dirichlet}},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {325--328},
publisher = {Elsevier},
volume = {335},
number = {4},
year = {2002},
doi = {10.1016/S1631-073X(02)02483-4},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02483-4/}
}
TY - JOUR AU - Finet, Catherine AU - Queffélec, Hervé AU - Volberg, Alexander TI - Image numérique et compacité d'opérateurs de composition sur un espace de Hilbert de séries de Dirichlet JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2002 SP - 325 EP - 328 VL - 335 IS - 4 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02483-4/ DO - 10.1016/S1631-073X(02)02483-4 LA - fr ID - CRMATH_2002__335_4_325_0 ER -
%0 Journal Article %A Finet, Catherine %A Queffélec, Hervé %A Volberg, Alexander %T Image numérique et compacité d'opérateurs de composition sur un espace de Hilbert de séries de Dirichlet %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2002 %P 325-328 %V 335 %N 4 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02483-4/ %R 10.1016/S1631-073X(02)02483-4 %G fr %F CRMATH_2002__335_4_325_0
Finet, Catherine; Queffélec, Hervé; Volberg, Alexander. Image numérique et compacité d'opérateurs de composition sur un espace de Hilbert de séries de Dirichlet. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 4, pp. 325-328. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02483-4. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02483-4/
[1] Geometry and topological properties of the numerical range, Indiana Univ. Math. J., Volume 31 (1982), pp. 767-777
[2] F. Bayart, Hardy spaces of Dirichlet series and their composition operators, Preprint
[3] F. Bayart, Compact composition operators on a Hilbert space of Dirichlet eries, Preprint, 2002
[4] On the numerical range of compact operators on Hilbert spaces, J. London Math. Soc., Volume 5 (1972), pp. 704-706
[5] P.S. Bourdon, J.H. Shapiro, When is zero in the numerical range of a composition operator?, à paraitre dans Integral Equations Operator Theory
[6] Composition Operators on Spaces of Analytic Functions, CRC Press, Boca Raton, 1995
[7] The composition operators on the space of Dirichlet series with square summable coefficients, Michigan Math. J., Volume 46 (1999), pp. 313-329
[8] A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York, 1982
[9] Der Wertevorrat einer Bilinearform, Math. Z., Volume 3 (1919), pp. 314-316
[10] A Hilbert space of Dirichlet series and a system of dilated functions in L2(0,1), Duke Math. J., Volume 86 (1987), pp. 1-36
[11] On inequalities in the theory of functions, Proc. London Math. Soc., Volume 23 (1925), pp. 481-519
[12] Composition Operators and Classical Function Theory, Springer-Verlag, New York, 1993
[13] Das algebraische Analogon zu einem Satz von Fejér, Math. Z., Volume 2 (1918), pp. 17-197
Cité par Sources :
