Détermination des images d'un point de base d'une surface rationnelle tensorielle définie par des vecteurs massiques

Gibaru, Olivier; Fiorot, Jean-Charles

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 3, pp. 283-288.

Dans cette Note, nous montrons que l'image d'un point de base d'une surface rationnelle tensorielle de ${ℝ}^3$ est un ensemble de courbes rationnelles de ${ℝ}^3$. Un point de base est une valeur des paramètres telle que la surface rationnelle présente la valeur $(\frac{0}{0},\frac{0}{0},\frac{0}{0})$ (cf. [4,5]). Ce résultat formulé par Clebsch dans [1] est ici revisité, dans le cadre de la géométrie de la CAO, via le formalisme des vecteurs massiques introduit par Fiorot et Jeannin dans [3]. Nous donnons explicitement ces courbes rationnelles à l'aide de leurs vecteurs massiques. Ceux-ci sont proportionnels aux vecteurs massiques dont les indices appartiennent au polygone de Newton de la surface. De plus, contrairement à ce qui est fait classiquement en géométrie algébrique, nous montrons qu'en appliquant un changement de variables avec des exposants fractionnaires, il est possible d'obtenir directement n'importe quelle courbe image du point de base, sans être obligé d'effectuer des changements de variables successifs.

In this Note, we demonstrate that the image of a base point of a rational surface defined in ${ℝ}^3$ is a set of rational curves defined in ${ℝ}^3$. A base point is a parameter value for which the rational parametrization takes the value of $(\frac{0}{0},\frac{0}{0},\frac{0}{0})$ (see [4,5]). This result was studied by Clebsch in [1]. Here, we use the formalism of massic vectors introduced by Fiorot and Jeannin in [3]. This allows us to give explicitly these rational curves via their massic vectors. These massic vectors are proportional to those whose indices belong to the Newton polygon of the surface. Moreover, it is shown that by using fractional changes of variables, it is possible to obtain any image curve directly without having to apply successive changes of variables as usually done in algebraic geometry.

[1] Clebsch, A. Ueber die Abbildung algebraischer Flächen, insbesondere der vierten und fünften Ordnung, Math. Ann., Volume 1 (1869), pp. 253-316

[2] Cox, D.; Little, J.; O'Shea, D. Using Algebraic Geometry, Springer, 1998

[3] Fiorot, J.C.; Jeannin, P. Courbes et surfaces rationnelles. Applications à la CAO, RMA12, Masson, Paris, 1989 (English version: Rational Curves and Surfaces. Applications to CAD, Wiley, Chichester, 1992)

[4] J.C. Fiorot, O. Gibaru, Blowing up: application to G²-continuous 8-sided filling patch, Numer. Math., à paraître

[5] Fiorot, J.C.; Gibaru, O. Modèle de surface de remplissage G²-continu via un éclatement multiple en géométrie de la CAO, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 330 (2000), pp. 1113-1118