Étant donné un espace homogène équippé d'une métrique naturellement réductive, nous nous proposons d'étudier la famille à un paramètre de connexions qui relie la connexion canonique à celle de Levi–Civita (t=0,1/2). Nous montrerons que l'opérateur de Dirac Dt associé à la connexion définie par t=1/3 coïncide avec un objet algébrique introduit récemment par B. Kostant et appelé « opérateur de Dirac cubique ». Nous calculerons le carré de Dt, généralizant ainsi la formule de Parthasarathy valide sur les espaces symétriques. Il en découlera l'existence d'un nouvel opérateur différentiel invariant de premier ordre ainsi qu'une inégalité pour la première valeur propre de D1/3 et des applications dans la théorie des cordes.
Given a homogeneous space endowed with a naturally reductive metric, we study the one-parameter family of connections ∇t joining the canonical and the Levi-Civita connection (t=0,1/2). We show that the Dirac operator Dt corresponding to t=1/3 is the so-called “cubic” Dirac operator recently introduced by B. Kostant, and compute the formula for its square for any t, thus generalizing the classical Parthasarathy formula on symmetric spaces. Then, we derive from it the existence of a new invariant first order differential operator on spinors, an eigenvalue estimate for the first eigenvalue of D1/3 and applications to string theory.
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Agricola, Ilka. Connexions sur les espaces homogènes naturellement réductifs et leurs opérateurs de Dirac. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 1, pp. 43-46. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02438-X. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02438-X/
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