Soit γ une probabilité gaussienne (centrée) sur un espace de Fréchet séparable et localement convexe E ; soit (H,‖·‖) l'espace auto-reproduisant associé. On montre que si une probabilité μ sur E est absolument continue relativement à γ, alors il existe un vecteur aléatoire G de loi γ et un vecteur aléatoire Z à valeurs dans H tel que G+Z ait la loi μ ; on utilise pour cela les inégalités isopérimétriques gaussiennes. On montre ensuite que dans certaines situations une telle condition, nécessaire pour l'absolue continuité, est aussi suffisante ; on utilise pour cela le théorème classique de Cameron–Martin et les propriétés d'invariance des probabilités gaussiennes par rotation.
Let G be a Gaussian vector taking its values in a locally convex separable Fréchet space E. We denote by γ its law and by (H,‖·‖) its reproducing Hilbert space. Let moreover X be an E-valued random vector of law μ. We prove that if μ is absolutely continuous relatively to γ, then there exist necessarly a Gaussian vector G′ of the law γ and an H-valued random vector Z such that G′+Z has the law μ of X. This fact is a direct consequence of isoperimetric properties of Gaussian vector. We show that in many situations, such condition is sufficient for μ being absolutely continuous relatively to γ, using classical Cameron–Martin theorem and invariance properties of Gaussian measures.
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Fernique, Xavier. Extension du théorème de Cameron–Martin aux translations aléatoires. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 1, pp. 65-68. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02434-2. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02434-2/
[1] X. Fernique, Fonctions aléatoires gaussiennes, vecteurs aléatoires gaussiens, Les Publications C.R.M., 1997
[2] Probability in Banach Spaces, Ergeb. Math. (3), 23, Springer, Berlin, 1991
[3] Mass Transportation Problems, Probab. Appl., Springer, Berlin, 1998
[4] Transformation of Measure on Wiener Space, Springer Monographs in Math., Springer, Berlin, 2000
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