Log-Lipschitz regularity and uniqueness of the flow for a field in ${\left({\mathrm{W}}_{\mathrm{loc}}^{𝐧/𝐩+\mathbf{1},𝐩}\left({ℝ}^{𝐧}\right)\right)}^{𝐧}$

Zuazua, Enrique

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 1, pp. 17-22.

On considère le problème de Cauchy pour un système d'équations différentielles ordinaires $\dot{x}=\mathrm{b}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{t}>0;\mathrm{x}\left(0\right)={\mathrm{x}}_0$ où l'état $\mathrm{x}=\mathrm{x}\left(\mathrm{t}\right)\in {ℝ}^n$ et où b est un champ de vecteurs dans ${\left({\mathrm{W}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{n}/\mathrm{p}+1,\mathrm{p}}\left({ℝ}^n\right)\right)}^n$. On démontre que, pour tout $x_0\in {ℝ}^n$, il existe une unique solution locale (en temps). Ceci correspond à un cas limite du point de vue de l'appartenance à des espaces de Sobolev. En effet, si s<n/p+1 il existe des champs de vecteurs $\mathrm{b}\in {\left({\mathrm{W}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{s},\mathrm{p}}\left({ℝ}^n\right)\right)}^n$ pour lesquels l'unicité n'est pas satisfaite. Par contre, lorsque s>n/p+1 l'unicité est trivialement vraie car b est localement Lipschitz grâce aux inclusions de Sobolev. La preuve consiste à démontrer que le champ de vitesses vérifie une condition de continuité de type Log-Lipschitz permettant de vérifier que la condition classique d'unicité d'Osgood est satisfaite. Lorsque p=2 la preuve se fait à l'aide des séries de Fourier. Lorsque p≠2 on utilise l'inégalité de Trudinger et la stratégie de la preuve du théorème de Morrey.

We consider the initial value problem $\dot{x}=\mathrm{b}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{t}>0;\mathrm{x}\left(0\right)={\mathrm{x}}_0,$ with $\mathrm{x}=\mathrm{x}\left(\mathrm{t}\right)\in {ℝ}^n$. We prove that local existence and uniqueness of solutions holds when the field b belongs to ${\left({\mathrm{W}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{n}/\mathrm{p}+1,\mathrm{p}}\left({ℝ}^n\right)\right)}^n$. This case corresponds to the limit regularity one in Sobolev terms since uniqueness may fail when $\mathrm{b}\in \left({\mathrm{W}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{s},\mathrm{p}}\left({ℝ}^n\right)\right)$ with s<n/p+1 but holds immediately when s>n/p+1 because of the Sobolev imbedding from ${\left({\mathrm{W}}_{\mathrm{loc}}^{\mathrm{s},\mathrm{p}}\left({ℝ}^n\right)\right)}^n$ into the space of locally Lipschitz fields. The proof of uniqueness relies on a Log-Lipschitz continuity property we prove for vector fields in this Sobolev class. When p=2 the proof is carried out by means of Fourier series, decomposing the field into the low and high frequencies. When p≠2 the proof uses Trudinger's inequality and the strategy of proof of Morrey's theorem.

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