Points fixes des automorphismes quasi-semi-simples

Digne, François; Michel, Jean

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 12, pp. 1055-1060.

Soit $\mathrm{G}$ un groupe algébrique réductif connexe sur un corps algébriquement clos. Un automorphisme algébrique σ de $\mathrm{G}$ est dit quasi-semi-simple s'il stabilise un couple formé d'un tore maximal de $\mathrm{G}$ et d'un sous-groupe de Borel de $\mathrm{G}$ le contenant ; la composante neutre ${\left({\mathrm{G}}^{\sigma }\right)}^0$ du groupe des points fixes ${\mathrm{G}}^{\sigma }$ est alors réductive. Le but de cette Note est d'expliciter le système de racines de ${\left({\mathrm{G}}^{\sigma }\right)}^0$. Au passage nous accomplissons avec un certain retard la promesse faite dans la preuve de [3], 1.15, complétant ainsi cette preuve.

Let $\mathrm{G}$ be a connected algebraic reductive group over an algebraically closed field. An algebraic automorphism σ of $\mathrm{G}$ is quasi-semi-simple if it stabilises a pair of a maximal torus of $\mathrm{G}$ and a Borel subgroup of $\mathrm{G}$ containing it; then the connected component ${\left({\mathrm{G}}^{\sigma }\right)}^0$ of the fixed-point group ${\mathrm{G}}^{\sigma }$ is a reductive group. We give an explicit description of its root system which allows us, as promised in [3], 1.15 to (belatedly) complete the proof which was left incomplete there.

[1] Bourbaki, N. Groupes et algèbres de Lie, Chapters 4, 5 et 6, Masson, 1981

[2] Carter, R. Simple Groups of Lie Type, Wiley, 1972

[3] Digne, F.; Michel, J. Groupes réductifs non connexes, Ann. E.N.S., Volume 27 (1994), pp. 345-406

[4] Springer, T.A. Linear Algebraic Groups, Prog. Math., Birkhäuser, 1998

[5] Steinberg, R. Endomorphisms of linear algebraic groups, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 80 (1968)

[6] Tits, J. Constantes de structure des algèbres de Lie semi-simples, Publ. Math. IHÉS, Volume 31 (1966), pp. 21-58