Théorèmes d'existence pour des équations avec l'opérateur « 1-Laplacien », première valeur propre pour −Δ₁

Demengel, Françoise

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 12, pp. 1071-1076.

On considère des équations de la forme

$$\{\begin{array}{c}-\mathrm{div}\sigma =f(x,u),u⩾0,u\neg \equiv 0,u\in \mathrm{BV}\left(\Omega \right),\hfill \\ \sigma ·\nabla u={\left|\nabla u\right|\mathrm{in}\Omega ,\left|\sigma \right|}_{{\mathrm{L}}^{\infty }\left(\Omega \right)}⩽1,\hfill \\ \sigma ·\overrightarrow{n}(-u)=u\mathrm{on}\partial \Omega ,\hfill \end{array}$$

où $\Omega$ est un domaine borné de ${ℝ}^N$, $\mathrm{u}\in \mathrm{BV}\left(\Omega \right)$ et $\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{u})\in {\mathrm{L}}^N\left(\Omega \right)$. On s'interesse au cas où f est constante et en particulier on définit la première valeur propre λ₁ pour −div(σ(u)), on étudie les premières fonctions propres. Ensuite on considère pour λ>λ₁ des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de solutions non triviales et non négatives pour l'équation

$$-\mathrm{div}\left(\sigma \left(\mathrm{u}\right)\right)=\lambda +{\mathrm{fu}}^{\mathrm{q}-1}$$

(avec des conditions aux limites) et $\mathrm{f}\in {\mathrm{L}}^{\infty }\left(\Omega \right)$, 1<q⩽1^★=N/(N−1).

We consider partial differential equations of the form

$$\{\begin{array}{c}-\mathrm{div}\sigma =f(x,u),u⩾0,u\neg \equiv 0,u\in \mathrm{BV}\left(\Omega \right),\hfill \\ \sigma ·\nabla u={\left|\nabla u\right|\mathrm{in}\Omega ,\left|\sigma \right|}_{{\mathrm{L}}^{\infty }\left(\Omega \right)}⩽1,\hfill \\ \sigma ·\overrightarrow{n}(-u)=u\mathrm{on}\partial \Omega ,\hfill \end{array}$$

where $\Omega$ is some smooth bounded domain in ${ℝ}^N$, $\mathrm{u}\in \mathrm{BV}\left(\Omega \right)$ and $\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{u})\in {\mathrm{L}}^N\left(\Omega \right)$. We consider the case where f=cte, define the first eigenvalue λ₁ for −div(σ(u)), and study eigenfunctions. We consider then for λ⩾λ₁ some necessary and sufficient conditions on f and the first eigenfunctions for existence of nontrivial solutions to

$$-\mathrm{div}\left(\sigma \left(\mathrm{u}\right)\right)=\lambda +{\mathrm{fu}}^{\mathrm{q}-1}$$

(with boundary conditions), $\mathrm{f}\in {\mathrm{L}}^{\infty }\left(\Omega \right)$, and 1<q⩽1^★=N/(N−1).

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[2] Berestycki, H.; Capuzzo Dolcetta, I.; Nirenberg, L. Problémes elliptiques indéfinis et théorème de Liouville non-linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 317 (1993), pp. 945-950

[3] I. Birindelli, F. Demengel, On some partial differential equation for noncoercive functional and critical Sobolev exponent, Adv. in Differential Equations, accepted

[4] I. Birindelli, F. Demengel, On some partial differential equation for non coercive functional and critical Sobolev exponent, Preprint, Universita di Roma La Sapienza

[5] Demengel, F. On some nonlinear partial differential equations involving the 1-Laplacian and critical Sobolev exponent, Control Optim. Calc. Var., Mars 2000

[6] F. Demengel, Some existence's results for noncoercive 1-Laplacian operator, Prébublication de l'Université de Cergy-Pontoise, No. 21, 2001, soumis à Nonlinear Anal

[7] F. Demengel, Functions almost 1-harmonic, Prépublication de l'Université de Cergy Pontoise. No. 31, 2001

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