Dans la première partie de cette Note, on montre que la première valeur propre non nulle du laplacien sur les 1-formes différentielles d'une variété hyperbolique complexe de congruence standard de dimension complexe n est toujours supérieure ou égale à . La suite de cette Note est consacrée à des applications homologiques de ce résultat. On démontre notamment que si Sh0H⊂Sh0G sont deux variétés de Shimura respectivement de type U(n−1,1) et U(n,1), l'application naturelle H2n−3(Sh0H)→H2n−3(Sh0G) est injective, première étape d'un « théorème de Lefschetz » pour les variétés de Shimura.
In the first part of this Note, we show that the first non-zero eigenvalue of the Laplace operator on 1-forms of a standard congruence arithmetic complex hyperbolic n-manifold is always . The following parts of this Note concern homological applications of this result. We prove, in particular, that if Sh0H⊂Sh0G are two Shimura varieties of type U(n−1,1) and U(n,1), the natural map H2n−3(Sh0H)→H2n−3(Sh0G) is injective, first step of a “Lefschetz theorem” for Shimura varieties.
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Bergeron, Nicolas; Clozel, Laurent. Spectre et homologie des variétés hyperboliques complexes de congruence. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 11, pp. 995-998. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02398-1. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02398-1/
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