Une approche non classique d'un problème d'assimilation de données

Puel, Jean-Pierre

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 2, pp. 161-166.

Nous considérons des problèmes d'évolution comme des équations de diffusion convection ou des équations de Navier–Stokes linéarisées pour lesquelles nous souhaiterions donner une « prédiction » sur un intervalle de temps (T₀,T₀+T) mais les conditions initiales nous sont inconnues. En revanche, nous connaissons des « mesures » de la solution sur l'intervalle de temps (0,T₀). L'approche classique dans l'assimilation de données est de rechercher la valeur initiale au temps 0 et ceci est connu pour être un problème mal posé. Ici nous proposons de rechercher la valeur de l'état au temps T₀ (le temps final des mesures) et nous montrons sur les exemples de base déja mentionnés que ceci est un problème bien posé. Nous donnons un résultat de reconstitution exacte de l'état à l'instant T₀ qui est basé sur l'obtention d'inégalités de Carleman globales puis nous donnons un algorithme d'approximation utilisant des problèmes auxiliaires de contrôle optimal.

We consider evolution problems such as diffusion convection equations or linearized Navier–Stokes system that we would like to “predict” on a time interval (T₀,T₀+T) but for which the initial value of the state variable is unknown. However, “measures” of the solutions are known on a time interval (0,T₀). The classical approach in data assimilation is to look for the initial value at time 0 and this is known to be an ill-posed problem. Here we propose to look for the value of the state variable at time T₀ (the final time of the “measures”) and we prove on some basic examples that this is a well-posed problem. We give a result of exact reconstruction of the value at T₀ which is based on global Carleman inequalities and we give an approximation algorithm which uses classical optimal control auxiliary problems.

[1] Blum, J.; Le Dimet, F.X. Assimilation de données pour les fluides géophysiques, Matapli, Volume 67 (janvier 2002)

[2] Courtier, Ph.; Talagrand, O. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation. I: Theory, Q. J. R. Meteorol. Soc., Volume 113 (1987), pp. 1311-1328

[3] A. Dubova, A. Osses, J.-P. Puel, Exact controllability on trajectories for a transmission parabolic problem, à paraître dans ESAIM: Control Optim. Calc. Var., volume dedicated to the memory of Jacques-Louis Lions

[4] Fursikov, A.; Imanuvilov, O. Controllability of Evolution Equations, Lecture Notes Series, 34, RIM-GARC, Seoul National University, 1996

[5] Imanuvilov, O. On exact controllability for the Navier–Stokes equations, ESAIM: Control Optim. Calc. Var., Volume 3 (1998), pp. 97-131 (www.emath.fr/cocv/)

[6] Imanuvilov, O. Remarks on exact controllability for Navier–Stokes equations, ESAIM: Control Optim. Calc. Var., Volume 6 (2001), pp. 39-72 (www.emath.fr/cocv/)

[7] O. Imanuvilov, J.-P. Puel, Global Carleman estimates for linearized Navier–Stokes equations and applications, en préparation

[8] O. Imanuvilov, M. Yamamoto, Carleman inequalities for parabolic equations in Sobolev spaces of negative order and exact controllability for semilinear parabolic equations, UTMS 98-46

[9] F.X. Le Dimet, Une étude générale d'analyse objective variationnelle des champs météorologiques, Rapport scientifique LAMP 28, Université de Clermont II, BP 45, 63170 Aubière, France, 1980

[10] X Le Dimet, F.; Talagrand, O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: theoretical aspects, Tellus, Volume 38A (1986), pp. 97-110

[11] Lions, J.-L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1971

[12] J.-P. Puel, A nonstandard approach to a data assimilation problem, à paraı̂tre