Algebraic braided model of the affine line and difference calculus on a topological space

Karoubi, Max

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 2, pp. 121-126.

Dans une Note précédente [1], nous avons proposé un modèle quantique de l'intervalle [0,1], à partir de séries convergentes dépendant d'un paramètre q (un exemple notable étant l'exponentielle quantique, dûe à Euler). Dans cette Note, nous suggérons un modèle plus simple construit à partir de fonctions $\mathrm{f}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right):\mathrm{Z}\to \mathrm{k}$ (k étant un anneau commutatif quelconque) constantes quand x↦+∞ ou x↦−∞ et leurs « différentielles » df que nous interpretons comme les fonctions x↦f(x+1)−f(x) (calcul aux différences). Grâce à ce nouveau « calcul différentiel sur les nombres entiers », nous pouvons associer à un ensemble simplicial ou espace topologique quelconque X une algèbre différentielle graduée tressée ${𝒟}^{*}\left(\mathrm{X}\right)$, analogue en esprit à l'algèbre ${𝒲}^{*}\left(\mathrm{X}\right)$ considérée dans [1]. Il convient de remarquer que le p-type d'homotopie de l'ensemble simplicial X « se lit » essentiellement sur le tressage de l'algèbre ${𝒟}^{*}\left(\mathrm{X}\right)$. En particulier, si $\mathrm{k}=\mathrm{Z}$, nous retrouvons de manière purement algébrique la cohomologie entière, les opérations de Steenrod, les groupes d'homotopie à partir de ce tressage.

In a previous Note [1], we suggested a quantum model of the unit interval [0,1], using convergent power series, parametrized by a variable q (a remarkable example is the quantum exponential, defined by Euler). In the present Note, we suggest a simpler model based on functions $\mathrm{f}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right):\mathrm{Z}\to \mathrm{k}$ (with an arbitrary commutative ring k) which are constant when x↦+∞ or x↦−∞ and their “differentials” considered as functions x↦f(x+1)−f(x) (difference calculus). Thanks to this new “differential calculus over the integers”, we can associate to any simplicial set or topological space X a braided differential graded algebra ${𝒟}^{*}\left(\mathrm{X}\right)$ which is similar in spirit to the algebra ${𝒲}^{*}\left(\mathrm{X}\right)$ introduced in [1]. We notice that the p-homotopy type of X can be read from the braiding of ${𝒟}^{*}\left(\mathrm{X}\right)$. In particular, if $\mathrm{k}=\mathrm{Z}$, we recover in a purely algebraic way the integral cohomology, Steenrod operations, homotopy groups from this braiding.

[1] Karoubi, M. Braiding of differential forms and homotopy types, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 331 (2000), pp. 757-762

[2] Karoubi, M. Quantum methods in algebraic topology, Contemp. Math., 279, American Mathematical Society, 2001, pp. 177-193

[3] Mandell, M.-A. E_∞-algebras and p-adic homotopy theory, Topology, Volume 40 (2001), pp. 43-94

[4] M.-A. Mandell, Cochain multiplications, Prepublication

[5] Pirashvili, T. Hodge decomposition for higher order Hochschild homology, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 33 (2000), pp. 151-179