On considère un groupe symplectique Sp et une paire duale réductive et irréductible (G,G′) de Sp au sens de R. Howe. On désigne par (resp. ) les algèbres de Lie de G (resp. G′). T. Przebinda définit une application appelée intégrale de Cauchy Harish-Chandra et notée qui associe à toute fonction de une fonction définie sur , l'ouvert des éléments semi-simples réguliers. Dans cette Note, on montre que ces fonctions sont des intégrales invariantes si la paire est de type II et elles possèdent les propriétés locales des intégrales invariantes si la paire est formée de groupes unitaires de même rang. Les relations de sauts sont alors obtenues à une constante multiplicative près.
We consider a symplectic group Sp and an reductive and irreductible dual pair (G,G′) in Sp in the sense of R. Howe. Let (resp. ) be the Lie algebra of G (resp. G′). T. Przebinda has defined a map , called the Cauchy Harish-Chandra integral from the space of smooth compactly supported functions of to the space of functions defined on the open set of semisimple regular elements of . We prove that these functions are invariant integrals if G and G′ are linear groups and they behave locally like invariant integrals if G and G′ are unitary groups of same rank. In this last case, we obtain the jump relations up to a multiplicative constant which only depends on the dual pair.
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Bernon, Florent. Propriétés de l'intégrale de Cauchy Harish-Chandra pour certaines paires duales d'algèbres de Lie. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 11, pp. 945-948. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02380-4. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02380-4/
[1] F. Bernon, Propriétés de l'intégrale de Cauchy Harish-Chandra pour les paires duales d'algèbres de Lie réductives, Thèse de l'Université de Poitiers, 2001
[2] Intégrales orbitales sur les algèbres de Lie réductives, Invent. Math., Volume 115 (1994), pp. 163-207
[3] La formule de Plancherel des groupes de Lie semi-simples réels, Representations of Lie Groups, Kyoto, Hiroshima, 1986, Adv. Stud. Pure. Math., 14, 1988, pp. 289-336
[4] Transcending invariant theory, J. Amer. Math. Soc., Volume 2 (1989), pp. 535-552
[5] A Cauchy Harish-Chandra integral for a reductive dual pair, Invent. Math., Volume 141 (2000), pp. 299-363
[6] On the character of the discrete series, the Hermitian symmetric case, Invent. Math., Volume 30 (1975), pp. 47-144
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