On a canonical placement of knots in irreducible 3-manifolds

Popescu-Pampu, Patrick

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 8, pp. 677-682.

Si M est une 3-variété compacte connexe orientable irréductible et que T est un système minimal de tores de Jaco–Shalen–Johannson dans M, nous définissons les pièces de M comme étant des voisinages réguliers de tores incompressibles dans T∪∂M, les composantes de leur complémentaire ou encore des voisinages réguliers des fibres de Seifert des composantes qui admettent une fibration de Seifert. Pour une classe d'isotopie donnée $𝒦$ de nœuds dans M nous décrivons, avec certaines restrictions sur M, l'ensemble des pièces qui contiennent des représentants de $𝒦$. Si les nœuds de $𝒦$ ne sont pas contenus dans des boules, nous montrons que la classe d'isotopie d'un représentant de $𝒦$ à l'intérieur d'une pièce P est indépendante du représentant choisi.

If M is a compact connected orientable irreducible 3-manifold and T is a minimal Jaco–Shalen–Johannson system of tori inside M, we define the pieces of M to be regular neighborhoods of incompressible tori in T∪∂M, the components of their complement or regular neighborhoods of Seifert fibres in those components that admit Seifert fibrations. For a given isotopy class $𝒦$ of knots inside M we describe, with some restrictions on M, the set of pieces which contain representatives of $𝒦$. If the knots of $𝒦$ are not contained in balls, we show that the isotopy class of a representative of $𝒦$ inside a piece P is independent of the chosen representative.

[1] A. Hatcher, Notes on basic 3-manifold topology, Accessible on http://math.cornell.edu/~hatcher

[2] Hatcher, A.; McCullough, D. Finiteness of classifying spaces of relative diffeomorphism groups of 3-manifolds, Geometry and Topology, Volume 1 (1997), pp. 91-109

[3] Jaco, W.H. Lectures on Three-Manifold Topology, Regional Conference Series in Mathematics, 43, American Mathematical Society, 1980

[4] Jaco, W.H.; Shalen, P.B. Seifert fibred spaces in three-manifolds, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 21 (1979), p. 220

[5] Johannson, K. Homotopy Equivalences of 3-Manifolds with Boundaries, Lecture Notes in Math., 761, Springer-Verlag, 1979

[6] Laudenbach, F. Topologie de dimension trois, homotopie et isotopie, Astérisque, Volume 12 (1974)

[7] Neumann, W. A calculus for plumbing applied to the topology of complex surface singularities and degenerating complex curves, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 268 (1981) no. 2, pp. 299-344

[8] Neumann, W.D.; Swarup, G.A. Canonical decompositions of 3-manifolds, Geometry and Topology, Volume 1 (1997), pp. 21-40

[9] P. Popescu-Pampu, Arbres de contact des singularités quasi-ordinaires et graphes d'adjacence pour les 3-variétés réelles, Thesis, Univ. Paris 7, Novembre 2001

[10] Waldhausen, F. Eine Klasse von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Invent. Math., Volume 3 (1967), pp. 308-333 and Invent. Math. 4 (1967) 87–117

[11] Waldhausen, F. On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large, Ann. Math., Volume 87 (1968), pp. 56-88