Comparaison de deux indicateurs de la régularité en variation des queues de distributions

Worms, Rym

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 8, pp. 709-712.

Pour une loi de fonction de répartition (f.d.r.) F, nous comparons les hypothèses faites dans [4] pour étudier la vitesse de convergence vers 0, lorsque u→s₊(F), de d(u)= ${\sup }_{\mathrm{x}\in [0,{\mathrm{s}}_{+}\left(\mathrm{F}\right)-\mathrm{u}[}|{\overline{F}}_u\left(\mathrm{x}\right)-{\overline{G}}_{\gamma }\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{u}-\alpha \left(\mathrm{u}\right)}{\sigma \left(\mathrm{u}\right)}\right)|$, où ${\overline{F}}_u$ est la fonction de survie de la loi des excès au-delà de u, s₊(F)=sup{x,F(x)<1} est la borne supérieure du support de F et ${\overline{G}}_{\gamma }$ est la fonction de survie d'une loi de Pareto Généralisée, avec les hypothèses faites dans [2] pour étudier la vitesse de convergence vers 0, lorsque n→+∞, de ${\widehat{d}}_n={\sup }_{\mathrm{x}\in ℝ}|{\mathrm{F}}^n\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{H}}_{\gamma }\left(\frac{\mathrm{x}-{\alpha }_n}{{\sigma }_n}\right)|$, où H_γ est la f.d.r. d'une loi des extrêmes. Dans chaque cas, avait été introduit un indicateur lié à des hypothèses de variation régulière. Nous caractérisons des situations où ces deux indicateurs coı̈ncident et d'autres où ils diffèrent.

We compare assumptions used in [4] in order to study the rate of convergence to 0, as u→s₊(F), of $\mathrm{d}\left(\mathrm{u}\right)={\sup }_{\mathrm{x}\in [0,{\mathrm{s}}_{+}\left(\mathrm{F}\right)-\mathrm{u}[}|{\overline{F}}_u\left(\mathrm{x}\right)-{\overline{G}}_{\gamma }\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{u}-\alpha \left(\mathrm{u}\right)}{\sigma \left(\mathrm{u}\right)}\right)|$, where ${\overline{F}}_u$ is the survival function of the excesses over u, s₊(F)=sup{x,F(x)<1} is the upper end point of the distribution function (d.f.) F and ${\overline{G}}_{\gamma }$ is the survival function of the Generalized Pareto Distribution, with assumptions used in [2] in order to study the rate of convergence to 0, as n→+∞, of ${\widehat{d}}_n={\sup }_{\mathrm{x}\in ℝ}|{\mathrm{F}}^n\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{H}}_{\gamma }\left(\frac{\mathrm{x}-{\alpha }_n}{{\sigma }_n}\right)|$, where H_γ is the d.f. of an extreme value distribution. In each case, an indicator linked to regular variation assumptions had been introduced. We characterize situations where these two indicators coincide, and others where they are different.

[1] Balkema, A.; de Haan, L. Residual life time at great age, Ann. Probab., Volume 2 (1974), pp. 792-801

[2] de Haan, L.; Resnick, S.I. Second-order regular variation and rates of convergence in extreme-value theory, Ann. Probab., Volume 24 (1996), pp. 97-124

[3] Pickands, J. III Statistical inference using extreme order statistics, Ann. Statist., Volume 3 (1975), pp. 119-131

[4] Worms, R. Vitesse de convergence de l'approximation de Pareto généralisée de la loi des excès, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 333 (2001), pp. 65-70