Non-explosion en temps grand et stabilité de solutions globales des équations de Navier–Stokes

Gallagher, Isabelle; Iftimie, Dragoş; Planchon, Fabrice

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 4, pp. 289-292.

Nous nous donnons a priori une solution globale des équations de Navier–Stokes incompressibles dans ${ℝ}^3$, dans la classe ${\mathrm{C}}_t\left({\dot{\mathrm{H}}}^{1/2}\right)$. Nous montrons successivement que la norme ${\dot{\mathrm{H}}}^{1/2}$ tend vers 0 à l'infini, que cette norme contrôle la norme ${\mathrm{L}}_t^2\left({\dot{\mathrm{H}}}^{3/2}\right)$, et qu'une telle solution globale est stable.

Suppose there exists a global solution u to the incompressible Navier–Stokes equations, such that $\mathrm{u}\in {\mathrm{C}}_t\left({\dot{\mathrm{H}}}^{1/2}\right)$. We prove that its ${\dot{\mathrm{H}}}^{1/2}$ norm goes to 0 at infinity. We next use this fact to control the ${\mathrm{L}}_t^2\left({\dot{\mathrm{H}}}^{3/2}\right)$ norm of u, and finally we prove that such a solution is stable.

[1] Calderón, C.P. Existence of weak solutions for the Navier–Stokes equations with initial data in L^p, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 318 (1990) no. 1, pp. 179-200

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[5] I. Gallagher, F. Planchon, On infinite energy solutions to the Navier–Stokes equations: global 2D existence and 3D weak-strong uniqueness. Arch. Rational Mech. Anal. (2001) (à paraître)

[6] I. Gallagher, D. Iftimie, F. Planchon, Non blow-up at infinity and stability of global solutions to the Navier–Stokes equations, Manuscript

[7] P.-G. Lemarié-Rieusset, Recent progress in the Navier–Stokes problem, à paraître à CRC Press

[8] Leray, J. Sur le mouvement d'un liquide visqueux remplissant l'espace, Acta Math., Volume 63 (1934), pp. 193-248

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