Dans cette Note, on démontre l'existence de la limite adiabatique de la fonction η(s) d'un opérateur sur l'espace total d'une fibration au dessus de S1, construit à partir d'une famille d'opérateurs différentiels inversibles d'ordre 1. Nous identifions cette limite à l'holonomie d'une famille méromorphe de connexions dans le fibré trivial. Dans le même contexte, la fonction ζ diverge. On donne une formule pour les deux premiers coefficients du développement asymptotique. Le premier résultat reste vrai pour une famille non-inversible si on se restreint à s=0. Dans le cas d'une famille d'opérateurs de Dirac, on retrouve la formule d'holonomie de Bismut–Freed.
In this Note we prove the existence of the adiabatic limit of the η(s) function of an operator on the total space of a fibration over S1, constructed from an invertible family of first-order differential operators. We identify this limit as the holonomy of a meromorphic family of connections in the trivial bundle. In the same context, the ζ function diverges. We give a formula for the first two terms of the asymptotic expansion. The first result remains true for a non-invertible family if we restrict ourselves to s=0. For a family of Dirac operators, we retrieve the holonomy formula of Bismut–Freed.
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Moroianu, Sergiu. Sur la limite adiabatique des fonctions êta et zêta. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 2, pp. 131-134. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02230-6. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02230-6/
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