La conjecture du facteur direct
Publications Mathématiques de l'IHÉS, Tome 127 (2018), pp. 71-93.

M. Hochster a conjecturé que pour toute extension finie S d’un anneau commutatif régulier R, la suite exacte de R-modules 0→R→S→S/R→0 est scindée. En nous appuyant sur sa réduction au cas d’un anneau local régulier R complet non ramifié d’inégale caractéristique, nous proposons une démonstration de cette conjecture dans le contexte de la théorie perfectoïde de P. Scholze. Les deux ingrédients-clé sont le « lemme d’Abhyankar perfectoïde » et l’analyse des extensions kummériennes de R par une technique d’épaississement sur des voisinages tubulaires.

Nous montrons par les mêmes techniques l’existence d’algèbres de Cohen-Macaulay pour les anneaux locaux d’inégale caractéristique. Il s’ensuit que les revêtements finis d’anneaux réguliers sont dominés par des plats.

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