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\begin{document}
\frontmatter
\title{Pavages du plan}
\alttitle{Tiling the plane}

\author[\initial{Y.} \lastname{Benoist}]{\firstname{Yves} \lastname{Benoist}}
\address{École Normale Supérieure-CNRS,
45 rue d'Ulm, 75230 Paris}

\email{yves.benoist@math.u-psud.fr }
\urladdr{https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~yves.benoist/}

\begin{abstract}
Ce texte a deux objectifs:

-- D'une part, donner un survol sans démonstration
de la théorie classique de Bieberbach des pavages euclidiens
périodiques ainsi que de ses analogues
hyperboliques, affines et projectifs.

-- D'autre part, exhiber quelques exemples
concrets de pavages périodiques et apério\-diques
en dimension $2$ dans le contexte euclidien, mais aussi
dans les contextes hyperboliques, affines et projectifs.
En particulier, nous construisons des
pavages affines du plan à l'aide
d'heptagones affinement réguliers comme dans la fleur ci-dessous.
\end{abstract}

\begin{altabstract}
We survey without proofs Bieberbach's theory for
euclidean periodic tilings and its
hyperbolic, affine and projective analogs.

We also describe explicit examples of
periodic and aperiodic 2-dimensional tilings
in the euclidean setting as well as in the
hyperbolic, the affine and the projective setting.

For instance, we construct
aperiodic affine tilings of the plane with
affinely regular heptagons as in the flower below.
\end{altabstract}

\thanks{Journées X-UPS 2001. Pavages. Éditions de l'École polytechnique, 2001}

\maketitle
\vspace*{-\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\begin{figure}[htb]
\centerline{
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{fleurcouleur}
}
\end{figure}

\section{Pavages}
\label{intro}
\bq
L'idée intuitive de pavage du plan est celle qui est familière
au carreleur: à l'aide d'un nombre fini de types de carreaux,
cet ouvrier recouvre tout un pan de mur en suivant le plus souvent
un motif périodique.
\eq

%11
\subsection{Présentation générale}
\label{subsecpresentation}

Les pavages que nous allons décrire dans ces exposés sont des
généralisations de cette idée intuitive, généralisations qui
ne seront probablement d'aucune utilité pour le carreleur!
Quelles sont alors nos motivations?
Les pavages ne seront pour nous qu'une des facettes très visuelle
de la notion de groupe.
Dans cette approche, ce sont en fait les groupes qui intéressent
les mathématiciens.

L'intérêt des généralisations est alors évidente:
elle permet l'étude d'une famille de groupes bien plus
intéressants que \og les groupes des pavages euclidiens du plan\fg.
Ces groupes eux-mêmes tisseront des liens étroits avec
d'autres domaines des mathématiques
comme la théorie des nombres, la topologie
ou les systèmes dynamiques
mais aussi avec divers domaines de la physique.

Nous présentons dans ce texte un survol de ce sujet
en nous attachant à construire explicitement quelques exemples
de pavages périodiques et apériodiques en dimension $2$ ou $3$.
En particulier, nous construirons, pour tout polygone convexe
$P_0$ un pavage du plan affine dont dont les tuiles sont
des images affines de $P_0$. La fleur, emblème de ce texte,
en est l'exemple le plus joli: $P_0$ est un heptagone régulier
et le pavage est de valence $3$. L'existence de ces pavages,
construits dans la section
\ref{subplanaffineaperiod}, semble nouvelle.

%12
\subsection{Pavés et groupes cristallographiques}
\label{subsecpave}

Revenons sur l'idée intuitive de pavage:
on se donne un nombre fini de tuiles polygonales $K_1,\ldots,K_\ell$
et on cherche à recouvrir le plan euclidien
$E=\RR^2$ à l'aide de tuiles $P_i=g_i(K_{a_i})$ images des
précédentes par des éléments $g_i$ du groupe $G$
des isométries euclidiennes de~$E$.
On veut en outre que ces tuiles ne se touchent que sur leur bord.
C'est cela un pavage du plan euclidien. Le pavage est dit périodique
si le même motif se reproduit périodiquement dans deux directions
(voir la figure \ref{bieberbacheps} ou le livre
\cite{grunbaumshephard} pour de jolies illustrations).

Les principales généralisations auxquelles nous allons nous intéresser
consisteront à remplacer successivement le plan euclidien $E$ par\\
-- le plan hyperbolique,\\
-- le plan affine,\\
-- un ouvert convexe borné du plan.

Le groupe $G$ sera alors, respectivement,\\
-- le groupe des isométries du plan hyperbolique,\\
-- le groupe des bijections affines du plan,\\
-- le groupe des bijections projectives laissant stable cet ouvert convexe.
\vs

Avec uniquement ces exemples en tête,
rappelons maintenant la définition
d'un pavage de façon certainement trop formelle.
On fixe un espace topologique $E$ localement compact et
un groupe $G$ de bijections continues de $E$.
On supposera pour simplifier que $E$ est
homéomorphe à $\RR^n$ et que les éléments
de $G$ sont des difféomorphismes, ce qui est le cas
dans tous nos exemples.
%cet espace sera homéomorphe à $\RR^n$.
%On fixe aussi un groupe $G$ de bijections continues de $E$.
On choisit des compacts $K_1,\ldots,K_\ell$ de $E$.
Ces compacts $K_i$ sont appelés \og pavés standards\fg
(l'usage du mot tuile étant réservé à la dimension $2$).
On appelle alors pavé un compact $P$ de $E$ de la forme $P=g(K_i)$
avec $g$ dans $G$.

Un pavage est un ensemble ${\cal P}$ de pavés tels que\\
(i) $E=\bigcup_{P\in {\cal P}}P$\\
(ii) $\forall P,Q \in {\cal P},\;
\stackrel{\circ}{P}\cap \stackrel{\circ}{Q}\; =\emptyset$\\
(iii) Pour tout compact $K$ de $E$, les pavés $P$ de ${\cal P}$ qui
rencontrent $K$ sont en nombre fini.

\rems
\noindent
-- Il est possible de décomposer la droite affine en une réunion
dénombrable d'intervalles fermés deux à deux disjoints.
Une telle décomposition n'est pas un pavage de la droite affine
car elle ne vérifie pas la condition (iii).\\
-- Pour les pavages euclidiens la condition (iii) est une conséquence des
deux autres.


Pour tout $g$ dans $G$, on note $g{\cal P}$ le pavage image:
\[
g{\cal P}=\{ g(P)\mid P\in {\cal P} \}.
\]
Le groupe de symétrie du pavage est donc le groupe
\[
\Ga_{\cal P}=\{ g\in G\mid g{\cal P}= {\cal P}\}.
\]

On dit que le pavage ${\cal P}$ est {\it périodique} si il existe
un ensemble fini~${\cal F}$ de pavés de ${\cal P}$
tels que tout pavé de ${\cal P}$
est l'image d'un pavé de~${\cal F}$
{\it par un élément $g$
du groupe de symétrie du pavage} $\Ga_{\cal P}$.
Si ce n'est pas le cas, on dit que le pavage est
{\it non périodique}.
On dit qu'un pavage est {\it apériodique} si
son groupe de symétrie est fini.

\bd
\label{defcrista1}
On appelle groupe cristallographique, un sous-groupe~$\Ga$
de $G$ égal au groupe de symétrie d'un pavage périodique.
\ed

Comme souvent en mathématiques,
derrière une (bonne) définition se cache une idée.
L'idée ici est qu'il est souvent possible,
de modifier la forme des pavés standards
d'un pavage périodique: pensez à un pavage périodique du plan
par des parallélogrammes
que l'on modifie en un puzzle périodique
(voir figure \ref{bieberbacheps}) ou
pensez aux dessins
\hbox{d'Escher} (voir \cite{ernst}).
Pour classifier les pavages périodiques, on va donc
se concentrer sur leur groupe de symétrie.

Voici une autre définition des
groupes cristallographiques.

\bd
\label{defcrista2}
Un sous-groupe $\Ga$ de $G$ est dit cristallographique
si \\
(i) Pour tout compact $K$ de $E$, l'ensemble
$\{g\in \Ga\mid g(K)\cap K\neq \emptyset\}$ est fini.\\
(ii) Il existe un compact $K_0$ de $E$ tel que
$E=\bigcup_{g\in \Ga}g(K_0)$.
\ed

\rems
\noindent
-- Ces deux conditions sont exactement celles qui assurent que
$\Gamma$ est \og discret\fg et que \og l'espace des orbites\fg
$\Ga\backslash E$ est un espace compact.\\
-- Pour faire référence à chacun de nos quatre exemples,
on qualifiera le
pavage et le groupe cristallographique d'euclidien,
d'hyperbolique, d'affine ou de projectif.\\
-- L'équivalence de ces deux définitions sera admise.
La difficulté est de réduire $K_0$ de sorte que les compacts
$g(K_0)$ soient d'intérieurs disjoints,
ce qui permet de construire un pavage
${\cal P}:= \{g(K_0)\mid g\in \Ga\}$ avec un seul pavé
standard $K_0$.
L'idée, qui remonte essentiellement à Poincaré,
consiste à construire une distance \og riemannienne\fg
$\Ga$-invariante $d$ sur $E$,
à choisir un point $x_0$ dans $E$ qui n'est fixé
par aucun élément de $\Ga$ et à prendre
\[
K_0=\{x\in E\mid \forall g\in \Ga,\; d(x,x_0)\leq d(x,gx_0)\}.
\]
On déforme alors légèrement ce pavé standard pour
que~$\Ga$ soit exactement le groupe de symétrie du pavage.


On dit qu'un sous-groupe $\Ga'$ d'un groupe $\Ga$
est d'indice fini si l'ensemble quotient $\Ga/\Ga'$ est fini.
L'indice est le cardinal de ce quotient.
Voici un corollaire immédiat de la définition
\ref{defcrista2}.

\bc
Soient $\Ga'\subset\Ga$ deux sous-groupes de $G$.
On suppose que~$\Ga'$ est d'indice fini dans $\Ga$.
Le groupe
$\Ga'$ est cristallographique si et seulement si $\Ga$ l'est.
\ec

L'objectif de la théorie des pavages périodiques
est la classification des groupes cristallographiques.
Nous verrons que cet objectif n'est atteint qu'en petite
dimension.
Faute de mieux, en dimension supérieure,
on se contente d'un objectif moins ambitieux: une classification
à sous-groupe d'indice fini près.
Et nous verrons que cet objectif n'est atteint que pour
les pavages euclidiens.

L'objectif de la théorie
des pavages apériodiques est encore plus modeste.
Nous nous contenterons de construire
des exemples de pavés standards permettant de
paver l'espace $E$ mais pas de façon périodique.
Nous n'aborderons pas les jolis aspects développés
dans les textes de F.~Labourie et R.~Kenyon
(pavages autosimilaires, comptages...).



\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{5cm}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{bieberbach1}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{5cm}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{bieberbach2}
\end{minipage}
}
\caption{\label{bieberbacheps}
\footnotesize Déformation de la tuile standard d'un pavage}
\end{figure}


%2
\section{Pavages euclidiens}
\label{seceuclidien}

\bq
Oublions vite ces généralités, rappelons les trois
théorèmes de Bieberbach qui décrivent
les pavages euclidiens périodiques et
donnons quelques exemples de pava\-ges euclidiens apériodiques.
Ces théorèmes et exemples
nous serviront de point de comparaison
pour l'étude de pavages plus généraux.
\eq

Dans cette partie, $E$ est l'espace euclidien de dimension $n$
et $G$ est le groupe des isométries de $E$: produits
d'une application linéaire orthogonale par une translation.

%21
\subsection{Pavages euclidiens périodiques}
\label{subseceuclidienperiod}
\bq
La description des groupes cristallographiques
de l'espace euclidien est donnée par les trois
théorèmes de Bieberbach qui datent des années 1910.
Nous les énonçons sans démonstration.
\eq

\bt[Bieberbach]
\label{bieberbach1}
Pour tout groupe cristallographique $\Ga$ de l'espace euclidien
$E$ de dimension $n$,
le sous-groupe $\Ga'$ formé des translations est d'indice
fini dans $\Ga$ et est engendré
par $n$ translations linéairement indépendantes.
\et

\rems
\noindent
 -- Le sous-groupe $\Ga'$ est donc un groupe isomorphe à
$\mathbb{Z}^n$.\\
-- L'image ${\cal P'}$ d'un pavage euclidien périodique ${\cal P}$
par une bijection affine de $E$
est donc encore un pavage euclidien périodique. Notons cependant
que les groupes
$\Ga_{\cal P}$ et $\Ga_{\cal P'}$ ne sont pas en général
isomorphes; en voici un exemple bien simple: prendre pour
${\cal P}$ un pavage carré et pour ${\cal P'}$
un pavage rectangulaire.


Le premier théorème de Bieberbach signifie donc qu'à
sous-groupe d'indice fini près, et à transformation affine près,
il n'y a qu'un seul groupe cristallographique euclidien.

Les deux autres théorèmes de Bieberbach
décrivent ce passage à un sous-groupe d'indice fini près.
Le deuxième théorème de Bieberbach affirme qu'un isomorphisme
entre groupes cristallographiques est
toujours induit par une bijection affine.

\bt[Bieberbach]
\label{bieberbach2}
Tout isomorphisme de groupes abstraits $\ph{:}\,\Ga\!\ra\!\Ga'\!$
entre deux groupes cristallographiques de \hbox{l'espace~euclidien}~$E$
est de la forme
$\ph (g)\!=\! h\circ g\circ h^{-1}$ où $h$ est une bijection
affine de~$E$.
\et

Le dernier est un théorème de finitude.
\bt[Bieberbach]
\label{bieberbach3}
Il n'existe qu'un nombre fini de
classes d'isomorphismes de groupes cristallographiques
de l'espace euclidien de dimension $n$.
\et


On peut donc tenter de dresser la table des classes
d'isomorphismes de groupes cristallographiques:
il y en a $17$ en dimension $2$, $219$ en dimension $3$.
Dressées à la fin du $19^{\rm i\grave{e}me}$ siècle
(voir \cite{hahn}),
une meilleure compréhension de ces tables est toujours un
sujet d'actualité (voir \cite{conwaythurston}).



%22
\subsection{Pavages euclidiens apériodiques}
\label{subseceuclidienaperiod}

\bq
Les premiers exemples de pavages du plan euclidien
par des pavés qui ne permettent pas de pavages
périodiques sont dus à R.~Berger
(voir \cite{berger} et \cite{penrose2}).
Cependant l'exemple le plus célèbre
est dû à Penrose:
\eq

\begin{figure}[htb]

\centerline{
\begin{minipage}[t]{5cm}
\centerline{
\includegraphics{penrose1}
}
\end{minipage}
\ \raisebox{1cm}{$\ra$} \
\begin{minipage}[t]{5cm}
\centerline{
\includegraphics{penrose2}
}
\end{minipage}
}
\vspace{.5em}

\centerline{\footnotesize A. Le cerf-volant et la flèche
\hspace{6em} B. Le processus de construction}
\vspace{2em}

\centerline{
\begin{minipage}[t]{3cm}
\includegraphics[height=3cm,width=3cm]{penrose3}
\end{minipage}
\ \raisebox{1.5cm}{$\ra$} \
\begin{minipage}[t]{3cm}
\includegraphics[height=3cm,width=3cm]{penrose4}
\end{minipage}
\ \raisebox{1.5cm}{$\ra$} \
\begin{minipage}[t]{3cm}
\includegraphics[height=3cm,width=3cm]{penrose5}
\end{minipage}
}
\vspace{.3em}

\centerline{\footnotesize C. Le pavage de Penrose}
\vspace{-.5\baselineskip}

\caption{\label{penroseeps}}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centerline{
\includegraphics[height=10cm,width=10cm]{penrose6}
}
\vspace*{-5pt}
\caption{\label{penrose2eps}
\footnotesize Suite de la figure \ref{penroseeps}}
\end{figure}


Le pavage de Penrose
a deux pavés standards: le cerf-volant $C$ et la flèche $F$;
ce sont, grosso modo, des quadrilatères obtenus
comme réunion de deux triangles isocèles égaux,
le premier de cotés $1$, $k$ et~$k$, le
deuxième de côtés $1$, $1$ et $k$ où $k$ est le nombre d'or:
$k^2=k+1$ de sorte que leurs angles
soient des multiples entiers de $\sfrac{\pi}{ 5}$
(voir figure \ref{penroseeps}.A).
Les cotés sont échancrés pour forcer certaines règles
de sélection.
Le processus de construction de la figure
\ref{penroseeps}.B consiste à remplacer de façon itérative
chaque cerf-volant par deux cerfs-volants plus une flèche et
chaque flèche par un cerf-volant plus une flèche.
C'est ce processus qui est
utilisé pour
dessiner les figures (voir le petit programme donné
dans la section \ref{secprogramme}).

\bex\mbox{}\par
\noindent
a) Montrer que ce processus de construction permet de paver le plan
euclidien avec $C$ et $F$ comme tuiles standard.\\
b) Montrer que tout pavage euclidien du plan à l'aide de $C$ et $F$
est apériodique.
\eex

\Subsubsection*{Indication}
\noindent
a) Remarquer que dans la figure \ref{penroseeps}.C, après quatre
itérations du processus de construction, on retrouve, après homothétie,
un pavage contenant le pavage initial.\\
b) Vérifier que les tuiles s'assemblent comme dans la figure
\ref{penroseeps}.B, ce qui permet de remonter le processus de
construction et d'obtenir un pavage ayant le même groupe
de symétrie mais des tuiles plus grosses.

\vs
Pour plus de détails sur le procédé
de construction, nous renvoyons
à l'article de Penrose (\cite{penrose}),
ou au livre \cite{senechal} pour cette très jolie
construction.

L'existence d'une construction analogue avec un seul pavé standard
n'est pas connue:

\bqu [Penrose, 1979]
\label{qpenrose}
Existe-t-il un polygone
qui permet un pavage euclidien du plan
mais qui ne permet pas de pavage euclidien périodique?
\equ

Pour $p=3,4,5$ ou $6$, il existe des polygones
convexes à $p$ côtés qui permettent un
pavage euclidien (périodique) du plan.
Un argument classique
de comptage prouve que cela n'est plus possible pour $p\geq 7$.
Détaillons cet argument sous forme d'un exercice, exercice qui
permet de réfléchir à la question ci-dessus.


\bex
\label{expgeq7}
Montrer qu'il n'existe pas de pavages euclidiens du plan
avec un polygone
convexe à $p$ côtés lorsque $p\geq 7$.
\eex

\subsubsection*{Indication}
Choisissons un grand carré de côté $N$ et notons
$S_N$, $A_N$ et $F_N$ les nombres de
sommets, d'arêtes et de faces du pavage inclus dans ce carré.
On montrera que\\
(i) $3 S_N \leq 2 A_N +{\cal O}(N)$
(chaque sommet est au moins de valence $3$),\\
(ii) $(p-2)\pi A_N\leq 2 p\pi S_N +{\cal O}(N)$
(étudier la somme des angles aux sommets) et\\
(iii) $S_N$ n'est pas un ${\cal O}(N)$.



Notons cependant, qu'en dimension $3$, on a le joli exemple
suivant (cf. \cite{senechal}).

\begin{figure}[htb]

\centerline{
\begin{minipage}[t]{3.5cm}
\centerline{
\includegraphics[scale=.8]{conway1}
}
\end{minipage}
\hspace*{2cm}
\begin{minipage}[t]{3.5cm}
\centerline{
\includegraphics[scale=.7]{conway2}
}
\end{minipage}
}
\vspace{3em}

\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\centerline{
\includegraphics{conway3}
}
\end{minipage}
\ \hspace{.5cm}\raisebox{1cm}{...} \hspace{.5cm}\
\begin{minipage}[t]{4cm}
\centerline{
\includegraphics{conway4}
}
\end{minipage}
}
\vspace{1em}
\caption{\label{conwayeps}
\footnotesize Le biprisme de Conway et son pavage non périodique}

\end{figure}


\bp[Conway \& Schmid, 1988]
\label{polyconway}
Il existe un polyèdre convexe qui permet
un pavage euclidien de l'espace $\RR^3$
mais pas de pavage euclidien périodique.
\ep


\rems
\noindent
-- L'exemple de Conway améliore un exemple
de Schmid qui n'était pas
convexe (cf. \cite{senechal}).\\
-- On aimerait bien sûr trouver un exemple
encore meilleur qui ne permettrait
que des pavages apériodiques.


Pour construire le biprisme de Conway,
on construit tout d'abord un prisme:
on part d'un losange du plan horizontal,
appelé base du prisme, dont l'angle
$\al$ est irrationnel à $\pi$
et on le \og recouvre d'un toit dont les deux pentes
font un angle $\sfrac\pi 4$ avec l'horizontale\fg.
Le~poly\-èdre de Conway est obtenu en recollant
deux copies de ce prisme le long de leur base.
Ce polyèdre a donc huit faces: quatre triangles et quatre
parallélogrammes qui sont deux à deux isométriques
(voir figure~\ref{conwayeps}).


Le pavage périodique du plan horizontal par ce losange
fournit une \og couche\fg de pavés de Conway dont les \og toits\fg
s'assemblent en un \og plan plissé\fg.
Les directions des plis des \og plans plissés\fg supérieur et
inférieur diffèrent de l'angle~$\al$.
Comme $\al$ est irrationnel, le pavage obtenu en
superposant successivement
de telles couches est non périodique.
Il reste à montrer que ce pavage est le seul possible
avec le polyèdre de Conway. Cela est laissé en exercice.
\hb

%3
\section{Géométrie hyperbolique}
\label{sechyperbolique}
\bq
Pour parler de pavage hyperbolique,
nous aurons besoin d'un peu de familiarité avec la géométrie
hyperbolique.
\eq

%31
\subsection{L'espace hyperbolique}
\label{subsecesphyp}
\bq
Le plan hyperbolique, découvert par Bolyai et Loba\-chev\-ski, est
historiquement le premier exemple de géométrie qui prouve
que le dernier axiome de la géométrie d'Euclide
sur l'unicité de la parallèle à une droite
issue d'un point est un axiome indépendant
des autres axiomes d'Euclide.
De nos jours, l'importance du plan hyperbolique
dépasse de loin cette remarque.
Il n'est pas trop fort de dire que le plan hyperbolique
aura fasciné des mathéma\-ticiens pendant plus d'un siècle
et demi (et ce n'est certainement pas fini!)
à cause de ses interactions avec des sujets très variés
comme les courbes algébriques, les fonctions holomorphes,
les corps de quaternions, les groupes discrets...
\eq

Décrivons directement l'espace hyperbolique de dimension $n\geq 2$.
Le plan hyperbolique étant bien sûr l'espace hyperbolique
de dimension $2$. L'espace hyperbolique est un espace
métrique $(E,d)$ homéomorphe à l'espace euclidien $\RR^n$
dont l'intérêt vient de la taille de son groupe d'isométrie
qui est de dimension $\sfrac{n(n+1)}{2}$; seuls
l'espace euclidien et la sphère font aussi bien.
Il existe de nombreux modèles de cet espace métrique.
Nous en décrirons cinq... chacun ayant son utilité:\\
$\star$ Le modèle de la boule projective de Klein $(\Om_n,d)$,\\
$\star$ Le modèle du demi-hyperboloïde $(H_n,d)$,\\
$\star$ Le modèle de la boule conforme de Poincaré $(B_n,d)$,\\
$\star$ Le modèle de la demi-sphère conforme $(\Si^+_n,d)$,\\
$\star$ Le modèle du demi-espace conforme de Lobachevski $(P_n,d)$.\\
Ces modèles sont bien sûr deux à deux isométriques.


\Subsubsection{La boule projective $\Om_n$}
\label{modeleproj}
\bq
Ce modèle, aussi appelé modèle de Klein,
est probablement le plus simple
et le mieux adapté aux questions que nous aborderons dans la partie
\ref{secprojectif}.
Nous verrons que ce modèle respecte les \og lignes droites\fg
mais déforme les angles.
\eq

On a
$$\Om_n=\{x=(x_1,\ldots,x_n)\in \RR^n\mid | x|^2<1\}$$
où on a noté $|x|^2= x_1^2+\ldots +x_n^2$.
La distance entre deux points $x$ et $x'$ de $\Om_n$
est donnée par
$$d(x,x')= |\log ([a,a',x,x'])|,$$
où $a$, $a'$ sont les points du bord de $\Om_n$ qui sont
sur la même droite que $x$ et $x'$ et où $[a,a',x,x']$
est le birapport de ces quatre points alignés:
dans un système de coordonnées affines, on a
$[a,a',x,x']=\frac{x'a\cdot xa'}{xa\cdot x'a'}$.
L'exercice suivant montre que $d$ est une distance. Elle est
appelée distance de Hilbert.

\bex
\label{exhilbert}
Montrer l'inégalité, pour tous $x$, $y$, $z$ dans $\Om_n$,
$d(x,z)\leq d(x,y) + d(y,z)$
avec égalité si et seulement si $y$ est sur le segment
$[x,z]$.
\eex

\subsubsection*{Indication}
Construire, en utilisant les propriétés du birapport,
un point $y'$ de
$\Om$ aligné avec $x$ et $z$ et tel que
$d(x,y')\leq d(x,y)$ et $d(y',z)\leq d(y,z)$.


\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics{distance}}
\caption{\label{distanceeps}
\footnotesize {L'inégalité triangulaire pour la distance de Hilbert}}
\end{figure}


On appelle chemin géodésique d'un espace métrique $(E,d)$
une application
$c$ définie sur un intervalle $I$ de $\RR$ à valeurs
dans $E$ telle que, pour tous $t$, $t'$ dans $I$,
on a $d(c(t),c(t'))=|t'-t|$. On appelle géodésique
la courbe image d'un chemin géodésique:
c'est l'analogue des \og lignes droites\fg de l'espace euclidien $\RR^n$.
L'exercice précédent prouve aussi que les géodésiques de
$\Om_n$ sont des segments de droites.

Dans l'espace hyperbolique, deux points sont donc toujours
joints par une et une seule géodésique. Notons que cette
propriété n'est pas satisfaite par tous les espaces
métriques.

\bex
\label{exproj2}
Montrer que l'application
\[
\RR\ra\Om_n;\quad t\mto (\tanh\sfrac t2,0,\ldots,0)
\]
est un chemin géodésique.
\eex

\Subsubsection{Le demi-hyperboloïde $H_n$}
\label{modelehyperbo}

\bq
Ce modèle déforme les angles et les géodésiques...
mais il sera très utile pour décrire le groupe des isométries
de l'espace hyperbolique. Il jouera aussi un rôle crucial
dans la construction de pavages affines apériodiques dans la section~\ref{subplanaffineaperiod}.
\eq

On note $q$ la forme quadratique lorentzienne sur
l'espace vectoriel $V=\RR^{n+1}$ et
$b$ la forme bilinéaire associée:
pour $v=(x_0,\ldots,x_n)$ et $w=(y_0,\ldots,y_n)$,
on~a
$$b(v,w)=-x_0y_0+x_1y_1+\ldots +x_ny_n\;\;{\rm et}\;\; q(v) =b(v,v).$$

On note $C_n$ le cône du futur de cette forme lorentzienne et
$H_n$ la nappe supérieure de l'hyperboloïde:
\begin{align*}
C_n&=\{v\in \RR^{n+1}\mid q(v)<0\; {\rm et}\; x_0>0\},\\
H_n&=\{v\in \RR^{n+1}\mid q(v)=-1\; {\rm et}\; x_0>0\}.
\end{align*}
On définit encore la distance de deux points $v$ et $v'$ de
$H_n$
par
$$d(v,v')= |\log ([p,p',v,v'])|,$$
où $p$, $p'$ sont les points du bord du cône $C_n$ qui sont
sur la même droite que $v$ et $v'$ et où $[p,p',v,v']$
est le birapport de ces quatre points alignés.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics{hyperboloide}}
\centerline{\refstepcounter{figure}\label{hyperboloideeps}
\footnotesize \textsc{\small Figure \thefigure}. La boule projective
\hspace{1cm}\refstepcounter{figure}\footnotesize
\textsc{\small Figure \thefigure}. 
... et le demi-hyperboloïde}
\end{figure}

L'exercice suivant prouve que ce modèle est isométrique au précédent.

\bex
\label{exhyperboloide}
Montrer que la formule
\[
\ph(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-|x|^2}}(1,x)
\]
définit une
isométrie $\ph$ de la boule projective $\Om_n$ sur le
demi-hyperboloïde~$H_n$.
\eex

\subsubsection*{Indication}
On interprétera géométriquement l'application $\ph$ et on utilisera
les propriétés du
birapport pour montrer que, pour
tous points $x$, $x'$ de $\Om_n$, on a
$d(\ph(x),\ph(x'))=d(x,x')$.

\bex\mbox{}
\label{exhyperboloide2}\par
\noindent
a) Montrer que l'application
$\RR\ra H_n;t\mto (\cosh \sfrac t2,\sinh \sfrac t2,0,\ldots,0)$
est un chemin géodésique.\\
b) Montrer que les géodésiques de $H_n$ sont les arcs d'hyperboles
obte\-nues par intersection de $H_n$ avec un $2$-plan.\\
c) Montrer que, pour tout $v$, $v'$ dans $H_n$,
on a $$b(v,v')<0\quad\text{et}\quad\cosh(\tfrac 12 d(v,v'))=-b(v,v').$$
\eex



\Subsubsection{La boule conforme $B_n$}
\label{modelepoinc}
\bq

Nous verrons que ce modèle,
aussi appelé modèle de Poincaré, respecte les angles mais déforme
les géodé\-siques.
\eq

On a, comme pour le modèle projectif,
$$B_n=\{y=(y_1,\ldots,y_n)\in \RR^n\mid | y|^2<1\}.$$
Pour définir la distance $d$ sur $B_n$, on va décrire
une isométrie $\psi$ du modèle projectif $\Om_n$ sur
la boule $B_n$.
Cette isométrie est donnée par la formule
$$\psi(x)=\frac{x}{1+\sqrt{1-|x|^2}}$$

\bex\label{expoinc}\mbox{}\par
\noindent
a) Interpréter géométriquement l'application $\psi$.\\
b) Montrer que l'application
$\RR\ra B_n ;t\mto (\tanh\sfrac t4,0,\ldots,0)$
est un chemin géodésique.\\
c) Montrer que les géodésiques de $B_n$ sont les arcs de cercles
ou de droites ortho\-gonaux au bord de $B_n$.
\eex

\subsubsection*{Indication}
Lire d'abord la construction du modèle suivant.

\Subsubsection{Le modèle de la demi-sphère $\Si_n^+$}
\label{modeledemisphere}
\bq
Ce modèle permet de faire le lien entre les
boules projective et conforme.
Nous verrons que ce modèle respecte les angles mais déforme
les géodésiques.
\eq

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.9]{demisphere}}
\caption{\label{demisphereeps}
\footnotesize La boule projective
\hspace{4em}{\normalsize \rm \addtocounter{figure}{1}
{\small \scshape Figure \thefigure.}} \footnotesize
La boule conforme}
\centerline{\footnotesize
{}\hspace{2em}
et la demi-sphère \hspace{11em} et la demi-sphère}
\end{figure}

On a
$$\Si^+_n=\{s=(s_1,\ldots,s_{n+1})\in \RR^{n+1}\mid
s_1^2+\ldots + s_{n+1}^2=1\; {\rm et }\; s_{n+1}>0\}.$$
Pour définir la distance $d$ sur $\Si^+_n$,
on décide que les identifications
$$\Om_n\To{\psi_1}\Si^+_n
\To{\psi_2}B_n$$ données par les formules:
$$\psi_1(x)=(x_1,\ldots,x_n,\sqrt{1-|x|^2})
\;\; {\rm et }\;\;
\psi_2(s)= \dfrac{1}{1+s_{n+1}}(s_1,\ldots,s_n)$$
sont des isométries.
On remarquera que $\psi= \psi_2\circ\psi_1$.


\skpt
\bex\label{exsphere}
\noindent
a) Interpréter géométriquement les applications $\psi_1$ et $\psi_2$.\\
b) Montrer que l'application
\[
\RR\ra \Si^+_n ;\quad t\mto (\tanh\sfrac t4,0,\ldots,0,(\cosh\sfrac t4)^{-1})
\]
est un chemin géodésique.\\
c) Montrer que les géodésiques de $\Si^+_n$ sont les arcs de cercles
ortho\-gonaux au bord de $\Si^+_n$.
\eex

\Subsubsection{Le demi-espace $P_n$}
\label{modelelobachevski}

\bq
Nous utiliserons peu ce modèle dans la suite.
Il est appelé modèle de Lobachevski mais
parfois aussi modèle de Poincaré!
Il est très utilisé en dimension $n=2$: en effet,
il est bien adapté à l'étude des
\og fonctions automorphes\fg.
Comme pour la boule conforme,
il respecte les angles et déforme les géodé\-si\-ques.
\eq

On a
$$P_n =\{ z=(z_1,\ldots,z_n)\in \RR^n\mid z_1>0\}.$$
Pour définir la distance $d$ sur $P_n$, on va décrire
une isométrie $\eta$ de la boule $B_n$ sur
le demi-espace $P_n$.
Cette isométrie est donnée par la formule
$$\eta(y)=\frac{2(y+e_1)}{|y+e_1|^2}-e_1$$
où $e_1=(1,0\ldots,0)\in \RR^n$.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics{poincare}}
\caption{\label{poincareeps}
\footnotesize { La boule et le demi-espace conformes }}
\end{figure}

\bex
\label{exlobachevski}\mbox{}\par
\noindent
a) Interpréter géométriquement l'application $\th$
comme une inversion de centre $-e_1$.\\
b) Montrer que l'application
$\RR\ra P_n ;t\mto (e^{t/2},0,\ldots,0)$
est un chemin géodésique.\\
c) Montrer que les géodésiques de $P_n$ sont les arcs de cercles
ou de droites ortho\-gonaux au bord de $P_n$.
\eex

%32
\subsection{Le groupe des isométries de l'espace hyperbolique}
\label{subsecisohyp}

\bq
Grâce au modèle de l'hyperboloïde, il est
facile de décrire le groupe des isométries de
l'espace hyperbolique.
\eq

Notons $O(q)$ le groupe orthogonal de la forme quadratique
lorentzienne $q$.
$$O(q)=\{ g\in {\rm GL}(\RR^{n+1})\mid q\circ g=q \}.$$
Les éléments de $O(q)$ envoient le
demi-hyperboloïde $H_n$ sur $\pm H_n$. On introduit donc le
sous-groupe d'indice $2$.
$$O^+(q)=\{g\in O(q)\mid g(H_n)=H_n\}.$$
Comme les transformations linéaires préservent l'alignement
et le birapport, les éléments de $O^+(q)$ sont
des isométries de l'espace hyperbolique $H_n$.
À l'inverse, on peut montrer que
toutes les isométries de l'espace hyperbolique $H_n$
sont données par des éléments de $O^+(q)$.


Dans l'exercice suivant, on identifie les éléments de
${\rm GL}(\RR^{n+1})$ à leur matrice dans la base canonique
$(e_0,\ldots,e_n)$.

\bex
\label{exmatricej}
Soit $J$ la matrice diagonale ${\rm diag }(-1,1,1,\ldots,1)$ de taille $n+1$.\\
a) Montrer que
$O(q)=\{ g\in {\rm GL}(\RR^{n+1})\mid g\circ J\circ {}^t\! g=J \}$.\\
b) En déduire que, pour tout $g$ dans $O(q)$,
on a $\det g=\pm 1$.
\eex

%On notera $SO^+(q)=\{ g\in O^+(q)\mid \det g =1 \}$.

Pour tout sous-espace vectoriel $W$ de $V=\RR^{n+1}$, on note $W^{\bot}$
son orthogonal:
$W^{\bot}=\{v\in V\mid \forall w\in W\;\; b(v,w)=0\}$.

\bex
\label{exorth}
Montrer que $\dim W \!+\!\dim W^{\bot}\!=\!n+1$ et que \hbox{$(W^{\bot})^{\bot}\!=\!W$}.
\eex

L'exercice suivant affirme que l'espace hyperbolique
est homogène sous l'action de son groupe d'isométrie.

\bex
\label{exhnhomogene}\mbox{}\par
\noindent
a) Montrer que, pour tout $v$ dans $H_n$,
la restriction de la forme quadratique $q$ à
l'orthogonal de la droite $\RR v$ est définie positive.\\
b) En déduire que pour tout $v$, $w$ dans $H_n$,
il existe une isométrie $g\in O^+(q)$ telle que $g(v)=w$.
\eex

\subsubsection*{Indication}
Utiliser le théorème de réduction des formes quadratiques réelles.
\vs

Certaines isométries nous seront très utiles pour
construire des pavages en \ref{subplanhyperboliqueperiod}:
ce sont les symétries
hyperplanes.
On appelle hyperplan $H$ de $H_n$ l'intersection
d'un hyperplan $W$ de $\RR^{n+1}$ avec $H_n$,
lorsqu'elle est non vide.

\bex
\label{exhyperplanhn}\mbox{}\par
\noindent
a) Montrer qu'un hyperplan $W$ de $V$ rencontre $H_n$
si et seulement si la droite $W^{\bot}$
vérifie $W^{\bot}\cap \overline{C}=\{ 0 \}$.
On dit alors que $W^{\bot}$ est de type espace.\\
b) Montrer de même qu'une droite $\De$ de $V$ rencontre $H_n$
si et seulement si l'hyperplan $\De^{\bot}$
vérifie $\De^{\bot}\cap \overline{C}=\{ 0 \}$.
On dit alors que $\De^{\bot}$ est de type espace.
\eex

\subsubsection*{Indication}
Utiliser encore le théorème de réduction des formes quadratiques réelles.
\vs

On appelle symétrie hyperplane $s_H$
l'unique élément de $O^+(q)$ égal à l'identité sur $W$
et à moins l'identité sur $W^{\bot}$.
Elle est donnée par la formule, pour tout $v$ dans $V$,
$$s_H(v)=v-b(v_0,v)v_0$$
où $v_0$ est le vecteur, unique au signe près, de la droite
$W^{\bot}$ tel que $q(v_0)=1$.

En dimension $n=2$, les hyperplans $H$ sont des géodésiques.
On parle alors de symétrie géodésique.



%33
\subsection{L'angle en géométrie hyperbolique}
\label{subsecanghyp}

\bq
Par analogie avec la géométrie euclidienne, on va définir
l'angle en géo\-métrie hyperbolique.
On vérifiera que, pour la boule conforme,
il coïncide avec l'angle euclidien.
\eq

L'angle entre deux chemins géodésiques $c_1$ et $c_2$
de l'espace hyperbolique qui sont issus d'un même point
$x_0=c_1(0)=c_2(0)$ est le réel $\th\in [0,\pi]$ défini
par la formule de la corde:
$$2\sin\sfrac{\th}{2}=\lim_{t\ra 0}\frac 1t d(c_1(t),c_2(t)).
$$

Cette définition ne dépend pas du modèle choisi.
Comme chacun des modèles est inclus dans un espace euclidien,
on parlera d'{\it angle hyperbolique} pour différencier
cet angle de
l'angle euclidien.

Terminons cette section en esquissant la démonstration
sous forme d'exercices de l'affir\-mation suivante que
nous avions déjà annoncée:
\vs

{\it L'angle hyperbolique est bien défini et coïncide
avec l'angle euclidien dans les modèles $B_n$, $\Si^+_n$ et
$P_n$.}
\vs

Notons
$$\partial H_n =\{v=(v_0,\ldots,v_{n})\in \RR^{n+1}\mid
q(v)=0 \; {\rm et }\; v_{0}=1\}.$$
C'est une sphère de dimension $n-1$ que l'on appelle
{\it sphère conforme} ou
{\it bord de l'espace hyperbolique}.
L'action naturelle du groupe $O^+(q)$ sur $H_n$ se prolonge
à son bord: pour $g$ dans $O^+(q)$ et $v$ dans $\partial H_n $,
$g\cdot v$ est l'unique élément de $\partial H_n $ colinéaire
à $g(v)$.

\bex
\label{exbordconforme}\mbox{}\par
\noindent
a) Montrer que l'action de $O^+(q)$ sur le bord $\partial H_n $
préserve les angles euclidiens entre les vecteurs tangents.\\
b) Montrer que l'action de $O^+(q)$ sur le modèle $\Si^+_n $
préserve les angles euclidiens entre les vecteurs tangents.\\
c) Montrer que l'action de $O^+(q)$ sur la boule conforme $B_n $
préserve les angles euclidiens entre les vecteurs tangents.
\eex

\Subsubsection*{Indication}
\noindent
a) On vérifiera que pour tout $g$ dans $O^+(q)$
et tout $v$ dans $\partial H_n $,
la différentielle de $g$ en $v$ induit une similitude
entre les espaces tangents.\\
b) Cela résulte de a) si on identifie $\Si^+_n$ à une
demi-sphère de $\partial H_{n+1}$
à l'aide de l'application $s\mto v:=(1,s)$.\\
c) Cela résulte de b) car $\psi_2$ est une inversion
et donc préserve les angles euclidiens.

\bex
\label{exangle}\mbox{}\par
\noindent
a) Montrer que l'angle hyperbolique est bien défini et que,
dans la boule projective, si $x_0=0$ alors l'angle
hyperbolique est égal à l'angle euclidien.\\
b) Montrer que, dans la boule conforme $B_n$, l'angle
hyperbolique est égal à l'angle euclidien.\\
c) idem pour les modèles $\Si^+_n$ et $P_n$.
\eex

\Subsubsection*{Indication}
\noindent
a) c'est un petit calcul.\\
b) Lorsque $x_0=0$, cela résulte du a). Le cas général
s'en déduit car, d'une part, l'espace hyperbolique est homogène sous
l'action de $O^+(q)$ (exercice \ref{exhnhomogene})
et, d'autre part, l'action de $O^+(q)$ sur la boule conforme $B_n $
préserve les angles euclidiens (exercice \ref{exbordconforme})
et les angles hyperboliques.



%4
\section{Pavages hyperboliques}
\label{secpavagehyperbolique}

\bq
Dans cette partie,
nous commençons par la construction
due à Poincaré
des pavages périodiques
du plan hyperbolique.

Nous présentons ensuite un panorama
sans démonstration des analogues hyperboliques des
théorèmes de Bieberbach,
en commençant tout d'abord par la dimension $2$.

Nous terminerons par des constructions
de pavages
non périodiques du plan hyperbolique
à l'aide d'une seule tuile
convexe.
\eq

Dans cette partie $E$ est l'espace hyperbolique de dimension $n$
et $G$ est le groupe $O^+(q)$ des isométries de $E$.

%41
\subsection{Construction de pavages périodiques du plan hyperbolique}
\label{subplanhyperboliqueperiod}

\bq
Commençons par décrire complètement
la construction la plus simple de pavages périodiques
pour le plan hyperbolique.
\eq

\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{3cm}
\includegraphics[height=3cm,width=3cm]{proj4}
\end{minipage}
\ \hspace{1cm} \
\begin{minipage}[t]{3cm}
\includegraphics[height=3cm,width=3cm]{conf4}
\end{minipage}
}
\caption{\label{proj4eps}
\footnotesize Un polygone convexe dans les boules
projective et conforme}
\end{figure}

\bd
Un polygone hyperbolique $P$ est une partie compacte
connexe du plan hyperbolique
délimitée par un nombre fini de géodésiques.

Le polygone $P$ est dit convexe si il contient les segments
géodésiques joignant deux de ses points.
\ed

On note $p$ le nombre de sommets de $P$ et
$\al_1,\ldots,\al_p$
les angles en ces sommets.
Lorsque $p=3$, on parle de triangle
hyperbolique.


\rems
\noindent
-- Dans la boule projective,
la notion de polygone hyperbolique coïncide
avec la notion de polygone euclidien
et la convexité coïncide
avec la convexité euclidienne, mais les angles sont \og faussés\fg.
Dans la boule conforme,
les côtés du polygone sont des arcs
de cercles ou de droites orthogonaux au
bord, la convexité ne coïncide donc plus
avec la convexité euclidienne, mais les angles sont \og bons\fg.\\
-- Comme en géométrie euclidienne, un polygone hyperbolique
est convexe si et seulement si tous ses angles sont \og rentrants\fg
(\ie si le prolongement des côtés est extérieur au polygone).

\vs


L'exemple le plus simple de pavage périodique
du plan hyperbolique est obtenu par une construction
qui est
analogue à celle du pavage carré du plan euclidien.
Construction qui a été magnifiquement dessinée par
Escher (voir \cite{ernst}).\enlargethispage{\baselineskip}

\bp[Poincaré, 1880]
\label{pavageplanhyp}
On part d'un polygone hyperbolique convexe $P_0$ dont les
angles sont de la forme $\al_i=\sfrac{2\pi}{d_i}$ où
$d_i$ est un entier supérieur ou égal à $3$.
On suppose \\
-- soit que les entiers $d_i$ sont pairs.\\
-- soit que les côtés de $P_0$ sont égaux.\\
On construit les polygones symétriques de $P_0$
par rapport à chacun de ses côtés. On obtient
ainsi de nouveaux polygones dont on reprend les symétriques
par rapport à leurs côtés et ainsi de suite...
Tous ces polygones forment un pavage périodique du plan hyperbolique.
\ep

\rems
\noindent
 -- La symétrie par rapport à une géodésique
a été définie dans la section \ref{subsecisohyp}.\\
-- Contrairement au cas euclidien,
il existe de nombreux tels polygones hyperboliques.
C'est ce que prouvent les deux exercices suivants.

\bex
\label{extriangle}\mbox{}\par
\noindent
a) Montrer que pour tout $\al_1,\al_2,\al_3>0$ tels que
$\al_1+\al_2+\al_3<\pi$, il existe un triangle
du plan hyperbolique dont ce sont les angles.\\
b) Montrer que ce triangle est unique à isométrie près.
\eex


\subsubsection*{Indication}
Utiliser le modèle de la boule conforme.

\bex
\label{expgone}
Soient $p\geq 3$,
$r\in{}]0,1[$ et
$P_{r,p}$ le polygone convexe hyperbolique
dont les sommets $x_1,\ldots,x_p$ sont donnés dans la
boule conforme $B_2$ par
$x_k=(r\cos\sfrac{2k\pi}{p},r\sin\sfrac{2k\pi}{p})$.
Montrer que les angles de $P_{r,p}$ sont égaux et qu'ils décroissent
continûment de $\sfrac{(p-2)\pi}{p}$ à $0$ lorsque
$r$ croît de $0$ à $1$.

\eex

\subsubsection*{Indication}
Faire un dessin.
\vs


Expliquons maintenant en détail pourquoi la construction
de Poincaré fournit bien un pavage.
La démarche est très simple. On va
construire des bouts de pavage sur des parties $P^{(n)}$
de plus en plus grosses, chacune étant obtenue
à partir de la précédente en ajoutant une \og couronne de tuiles\fg.
Le point essentiel étant la convexité de $P^{(n)}$.
Pour raccourcir le raisonnement, on supposera que $d_i\geq 10$ c'est
à dire que $\al_i\leq \sfrac{\pi}{5}$.
Cette condition nous permettra d'assurer que les polygones
que nous allons construire dans le raisonnement ont des
angles rentrants et sont donc convexes.

On part donc de notre polygone convexe $P_0$ qui va jouer le rôle de
tuile standard. On note $x_1,\ldots,x_p$ les sommets de $P_0$.
Comme $\al_1=\sfrac{2\pi}{d_1}$, on peut construire des polygones
$P_0,\, P_1,\ldots,P_{d_1}$ \og en faisant rouler $P_0$ autour de $x_1$\fg.
C'est-à-dire en posant $P_{i+1}=g_i(P_i)$ où
$g_i$ est la symétrie par rapport au côté de $P_i$ qui
contient $x_1$ (mais qui n'est pas inclus dans $P_{i-1}$, lorsque
$i\geq 1$).
Nos hypothèses assurent que
les polygones $P_i$ sont d'intérieurs disjoints et
que la réunion $Q_1:=P_1\cup\ldots\cup P_{d_1}$ est
un voisinage de $x_1$ qui est encore un
polygone convexe (à $(p-2)d_1$ côtés).

\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{2.5cm}
\includegraphics[height=2.5cm,width=2.5cm]{conf31}
\end{minipage}
\  
\begin{minipage}[t]{2.5cm}
\includegraphics[height=2.5cm,width=2.5cm]{conf32}
\end{minipage}
\  
\begin{minipage}[t]{2.5cm}
\includegraphics[height=2.5cm,width=2.5cm]{conf33}
\end{minipage}
\ \raisebox{1.2 cm}{...} \
\begin{minipage}[t]{2.5cm}
\includegraphics[height=2.5cm,width=2.5cm]{conf34}
\end{minipage}
}
\caption{\label{conf3eps}
\footnotesize
Construction de la $n^{\rm \grave{e}me}$ couronne de tuiles
d'un pavage hyperbolique dans la boule conforme }
\end{figure}


La même construction autour des sommets $x_2,\ldots,x_p$
donne des polygones convexes $Q_2,\ldots,Q_p$.

La réunion $P^{(1)}:= Q_1 \cup \ldots \cup Q_p$ est alors un
polygone convexe et un voisinage de $P$
vérifiant les propriétés suivantes:\\
(i) $P^{(1)}$ est pavé par des polygones isométriques à $P_0$ qui
sont deux à deux d'intérieurs disjoints.\\
(ii) Un sommet de $P^{(1)}$ est dans au plus trois tuiles de ce pavage.\\
(iii) Chaque fois que deux de ces tuiles se touchent le long
d'une arête, elles sont symé\-triques par rapport à cette
arête.

Le polygone $P^{(1)}$ a des sommets $y_1,\ldots,y_{q}$. Pour
chacun de ces sommets $y_k$, on choisit un pavé $P'_k$ le
contenant.
En faisant rouler~$P'_k$ autour de $y_k$, on construit un
polygone convexe $Q'_k$.
La réunion $P^{(2)}:= P^{(1)}\cup Q'_1\cup\ldots\cup Q'_{p'}$ est un
voisinage de $P^{(1)}$ qui vérifie les mêmes propriétés
(i), (ii) et (iii) que $P^{(1)}$.

On peut donc continuer ce procédé et construire
une suite croissante de polygones convexes $P^{(n)}$.
Leur réunion est un ouvert convexe du plan hyperbolique $H_2$ qui
est recouvert par un pavage périodique.

Il reste à montrer que $\Om= H_2$.
Si ce n'était pas le cas, on pourrait trouver une suite
infinie $(y_n)_{n\geq 1}$ de sommets distincts du pavage dans un compact de $H_2$.
On pourrait alors en extrayant une sous-suite
supposer cette suite convergente. On aurait alors
$\lim_{n\ra\infty}d(y_n,y_{n+1})=0$. Ceci est impossible
car cette suite est minorée par le réel
$\inf_{1\leq k\leq p}d(x_k,Q_k^c)$.
\hb

\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{4.5cm}
\includegraphics[height=4.5cm,width=4.5cm]{proj5}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4.5cm}
\includegraphics[height=4.5cm,width=4.5cm]{conf5}
\end{minipage}
}
\caption{\label{proj5eps}
\footnotesize
Le pavage hyperbolique de valence 4
par des pentagones réguliers
dans les boules projective et conforme}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{4.5cm}
\includegraphics[height=4.5cm,width=4.5cm]{proj7}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4.5cm}
\includegraphics[height=4.5cm,width=4.5cm]{conf7}
\end{minipage}
}
\caption{\label{proj7eps}
\footnotesize Le pavage hyperbolique de valence $3$
par des heptagones réguliers
dans les boules projective et conforme}
\end{figure}


\rem
Cette démarche sera reprise plusieurs fois dans
la suite avec des petites variantes.\vs

L'exercice suivant donne un autre exemple de la
construction de Poincaré.

\bex
Soient $p\geq 3$, $k\geq 1$ et
$P_0$ un polygone hyperbolique convexe à $p$ côtés
dont les angles $\al_1,\ldots,\al_p$ vérifient
$\al_1+\ldots +\al_p =\sfrac{2\pi}{k}$.
Alors il existe un pavage périodique du plan hyperbolique
ayant~$P_0$ comme tuile standard.
\eex

\subsubsection*{Indication}
On utilisera la même construction avec des symétries
par rapport aux milieux des côtés de $P_0$
au lieu de symétries
par rapport aux côtés de $P_0$.

%42
\subsection{Pavages périodiques de l'espace hyperbolique}
\label{subsecesphyperboliqueperiod}

\bq
Énonçons maintenant l'analogue des théorèmes de
Bieberbach pour l'es\-pace hyperbolique $H_n$.
Les cas $n=2$ et $n\geq 3$ seront énoncés séparément.
\eq

Nous aurons besoin de quelques notations.

-- On dit qu'un groupe $\Ga$ est sans torsion
si, pour tout $g\neq 1$ dans~$\Ga$ et tout $n\geq 1$, on a
$g^n\neq 1$.

-- Pour $g\geq 2$, on note $\Ga_{(g)}$ le groupe abstrait
défini par les $2g$ géné\-rateurs
$a_1$,$b_1,\ldots,a_g$,$b_g$
et l'unique relation
\[
a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1}\ldots
a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}=1.
\]

-- Deux sous-groupes $\Ga$ et $\Ga'$ de $O^+(q)$
sont dits (isométriquement) conjugués si il existe un élément $h$ de
$O^+(q)$ tel que $\Ga'=h\Ga h^{-1}$
\vs

Pour le plan hyperbolique, l'analogue des théorèmes de
Bieberbach est très différent du cas euclidien.

\bt
\label{selpointeich}\mbox{}\par
\noindent
1) {\fontfamily{ptm}\bfseries\upshape (Selberg)} Tout groupe cristallographique $\Ga$
du plan hyperbolique
admet un sous-groupe d'indice fini sans torsion.\\
2) {\fontfamily{ptm}\bfseries\upshape (Poincaré, 1880)} 

a) Pour tout $g\leq 2$, le
groupe $\Ga_{(g)}$ est isomorphe à un
groupe cristallographique du plan hyperbolique.

b) Tout groupe cristallographique du plan hyperbolique
qui est sans torsion est isomorphe à
un des groupes $\Ga_{(g)}$.

c) En outre, pour tous $g_1\neq g_2$, les groupes
$\Ga_{(g_1)}$ et $\Ga_{(g_2)}$ ne sont pas
isomorphes mais ils admettent un sous-groupe d'indice fini
isomorphe.\\
3) {\fontfamily{ptm}\bfseries\upshape (Teichmüller, 1943)} Pour $g\geq 2$, l'ensemble des isomorphismes
du groupe $\Ga_{(g)}$ sur un groupe cristallographique du plan
hyperbolique, modulo conjugaison par une isométrie, est
un espace topologique homéomorphe à $\RR^{6g-6}$.
\et

\rems
\noindent
1) Plus précisément,
le théorème de Selberg (qui date de 1960)
est la généra\-lisation de cet énoncé à tous les
sous-groupe de type fini des groupes linéaires
${\rm GL}(\RR^n)$.
Le cas particulier que nous avons cité était connu bien avant.\\
2) On peut
choisir ce sous groupe d'indice fini isomorphe à
$\Ga_{(g_3)}$ avec $g_3=g_1g_2-g_1-g_2$.\\
3) Disons, de façon naïve, que la dimension $6g-6$ vient de ce
$O^+(q)$ est de dimension 3,
que l'on doit choisir
$2g$ éléments de $O^+(q)$ (d'où le $6g$),
que ces éléments doivent vérifier une relation (d'où un
$-3$),
et que l'on travaille à conjugaison près (d'où un autre $-3$).
\vs

Pour l'espace hyperbolique de dimension $n\geq 3$, l'analogue des
théorèmes de
Bieberbach est très différent à la fois du cas euclidien
et du cas du plan hyperbolique.

\bt Soit $n\geq 3$.\\
1) {\fontfamily{ptm}\bfseries\upshape (A.~Borel, 1963) }Il existe une famille infinie de
groupes cristallographiques $\Ga_i$ de l'espace hyperbolique $H_n$ tels
que, pour $i\neq j$, aucun sous-groupe d'indice fini de
$\Ga_i$ n'est conjugué à un sous-groupe d'indice fini de
$\Ga_j$.\\
2) {\fontfamily{ptm}\bfseries\upshape (Mostow, 1967) } Tout isomorphisme de groupes abstraits $\ph:\Ga\ra\Ga'$
entre deux groupes cristallographiques de l'espace hyperbolique $H_n$
est de la forme
$\ph (g)= h\circ g\circ h^{-1}$ où $h$ est une
isométrie de $H_n$.
\et

\rems
\noindent
1) La construction de Borel est particulièrement explicite:
pour tout entier premier $d\geq 2$, on prend
pour groupe $\Ga_d$ le sous-groupe de $O^+(q)$ formé des éléments qui
dans la base $(d^{\sfrac 14}e_0,e_1,\ldots,e_n)$ sont donnés par des matrices
à coefficients dans l'anneau
$\mathbb{Z}[\sqrt{d}]:= \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\sqrt{d}$.
Ce type de construction tisse des liens particulièrement intéressants
entre les pavages et l'arithmétique.\\
2) Il résulte du théorème de Mostow que,
pour $i\neq j$, aucun sous-groupe d'indice fini de
$\Ga_i$ n'est {\it isomorphe} à un sous-groupe d'indice fini de
$\Ga_j$.
\vs

Signalons que ce théorème admet des généralisations
à tous les \og réseaux des groupes de Lie semi-simples\fg.

%43
\subsection{Pavages apériodiques du plan hyperbolique}
\label{subplanhyperboliqueaperiod}

\bq
Oublions ces généralités et
donnons maintenant une~cons\-truction concrète d'un pavage
apériodique du plan hyper\-bolique à
l'aide d'un seul triangle
(voir \cite{margulismozes}).
Cette~cons\-truction donne une réponse à un analogue
hyperbolique
de la question de Penrose.
\eq

\bp[Margulis \& Mozes, 1998]
\label{hyperboliqueaperiod}
Soit $T_0$ un triangle isocèle du plan hyperbolique
d'angles $\al$, $\be$ et $\be$ tel que $5\al + 8\be=2\pi$
et tel que $\al/\pi$ est irrationnel.

Alors la tuile standard $T_0$
permet un pavage du plan hyperbolique
mais ne permet pas de pavage hyperbolique périodique.
\ep


\rems
\noindent -- L'existence d'un tel triangle est assurée par l'exercice
\ref{extriangle}.\\
-- On peut remplacer les entiers $5$ et $8$
par n'importe quels entiers $d$ et $2e$
avec $d,e\geq 4$ et $d\neq e$.\\
-- On peut aussi remplacer $T_0$ par un polygone à $p$ côtés
égaux bien choisi.

\dem
a) Montrons tout d'abord que $T_0$ permet de paver le
plan hyperbolique.

Pour cela, notons $P_0$ le quadrilatère
hyperbolique réunion du triangle $T_0$ et de son symétrique
par rapport à sa base.
Le quadrilatère $P_0$ est un losange: ses quatre côtés
sont égaux et il a pour angles successivement
$\al$, $\ga$, $\al$ et $\ga$ avec $\ga=2\be$. On a l'égalité
$d\al +e\ga= 2\pi$ avec $d=5$ et $e=4$.

On va construire un pavage admettant $P_0$ pour unique tuile
standard. On reprend la même méthode qu'en
\ref{subplanhyperboliqueperiod}: on va encore construire, par
récurrence, le pavage sur un polygone convexe $P^{(n)}$
en ajoutant à chaque étape une couronne de tuiles.
L'unique différence avec \ref{subplanhyperboliqueperiod}
est que les nouvelles tuiles ne sont plus obtenues
par symétrie à partir de leur voisine.

On part de $P^{(0)}=P_0$. Au cran $n$, $P^{(n)}$ est
un polygone convexe pavé par des tuiles isométriques à $P_0$
telles que chaque sommet de $P^{(n)}$ appartient à au plus
deux tuiles du pavage.
Pour construire $P^{(n+1)}$ à partir de $P^{(n)}$,
on ajoute successivement des nouvelles tuiles autour
des sommets $y_1,\ldots,y_{q}$ de $P^{(n)}$ en prenant soin
qu'autour de chaque sommet $y_k$, il y ait
exactement $d+e$ tuiles dont $d$ ont un angle $\al$ en $y_k$
et $e$ ont un angle $\ga$.
Ceci est possible car $d\geq 4$ et $e\geq 4$. En outre ces
nouvelles
tuiles sont d'intérieurs disjoints car,
comme $\max(4\al,4\ga)\leq\pi$, à chaque étape,
les polyèdres sont convexes.
Finalement le polygone $P^{(n+1)}$ ainsi construit est convexe
et vérifie la même propriété que $P^{(n)}$.
La fin de l'argument est comme en \ref{subplanhyperboliqueperiod}.

b) Montrons enfin que $T_0$ ne permet pas de paver
périodiquement le
plan hyperbolique.

Supposons, par l'absurde, qu'il existe un tel pavage périodique~${\cal P}$ et notons $\Ga:=\Ga_{\cal P}$
le groupe des isométries directes
de $H_2$ qui \hbox{préservent}~${\cal P}$.
On va conclure à l'aide d'un argument de comptage:
dessinons sur la surface quotient $\Ga\backslash H_2$ le
pavage image de ${\cal P}$ et \hbox{notons}~$N_\al$
le nombre d'angles égaux à $\al$ et $N_\be$
le nombre d'angles égaux à~$\be$ dans ce pavage.

Comme sur chaque face il y a un angle $\al$ et deux angles $\be$,
on a $2N_\al =N_\be$.

Comme sur chaque sommet il y a $d$ angles $\al$ et $2e$ angles $\be$,
on a $2eN_\al =dN_\be$.

Comme $d\neq 2 e$, on obtient une
contradiction.
\hb

\rem
Le lecteur qui voudrait détailler cet argument sans faire appel
à la surface quotient peut introduire les ensembles
${\cal E_\al}$ et ${\cal E_\be}$ formés des couples $(P,x)$
où $P$ est une tuile de ${\cal P}$ et $x$ un sommet de cette
tuile d'angle $\al$ et $\be$ respectivement.
Il peut alors comparer de deux façons les nombres
$N_\al$ et $N_\be$ de
$\Ga$-orbites dans ces ensembles.


\begin{figure}[htb]
\centerline{
\includegraphics[height=6cm,width=8cm]{kenyon}
}
\caption{\label{kenyoneps}
\footnotesize Un pavage hyperbolique non périodique dans le modèle du demi-plan}
\end{figure}

La figure \ref{kenyoneps} donne un
autre exemple de polygone convexe permettant
un pavage du plan hyperbolique $H_2$
mais ne permettant pas de pavage hyperbolique périodique.
Cet exemple est une variante convexe
de l'exemple de \cite{penrose}. Il m'a été montré par
R.\,Kenyon.
Il se généralise aisément
en toute dimension $n\geq 2$.


%5
\section{Pavages affines}
\label{secpavageaffine}

\bq
Dans cette partie nous présentons un panorama
sans démonstration des analogues affines des
théorèmes de Bieberbach,
en commençant tout d'abord par la dimension $2$.

Nous terminerons par la construction, pour
tout polygone convexe $P_0$, de pavages
affines du plan à l'aide d'une seule tuile standard
égale à $P_0$.
\eq

Dans cette partie $E$ est l'espace affine de dimension $n$
et $G$ est le groupe ${\rm Aff}(\RR^n)$ des
bijections affines de $E$.

On considérera aussi parfois le groupe ${\rm P}(\RR^n)$
des bijections polynomiales de $\RR^n$ dont
l'inverse est polynomiale.
On parlera alors de pavage polynomial et
de groupe cristallographique polynomial.

%51
\subsection{Pavages périodiques du plan affine}
\label{subplanaffineperiod}

\bq
Commençons par décrire
les groupes cristallographiques affines du plan
à sous-groupe d'indice fini près.
\eq

Pour $(p,q)$ dans $\RR^2$, on note $\tau_1^{p,q}$ et
$\tau_2^{p,q}$ les bijections affines de $\RR^2$
données par
$$\tau_1^{p,q}: (x,y)\mapsto (x+p,y+q) \text{ \ et \ }
\tau_2^{p,q}: (x,y) \mapsto (x+p+qy+
{\tfrac 12}q^2,y+q).$$

On appelle réseau de $\RR^2$ un sous-groupe $\La$ de $\RR^2$
engendré par deux vecteurs linéai\-rement indépendants.
Par exemple, le sous-groupe $\mathbb{Z}^2$ est un réseau de $\RR^2$.
Les groupes
$$\Ga_1:= \{\tau_1^{p,q}\mid (p,q)\in \mathbb{Z}^2\} \;\;\; {\rm et }\; \;\;
\Ga_2^\La:= \{\tau_2^{p,q}\mid (p,q)\in \La \}$$
sont des groupes cristallographiques affines du plan.
Le groupe $\Ga_1$ est le groupe des translations entières.
Le groupe $\Ga_2^\La$ est aussi
isomorphe au groupe $\mathbb{Z}^2$, mais
$\Ga_2^\La$ n'est pas {\it affinement conjugué} au groupe $\Ga_1$,
c'est-à-dire qu'il n'existe pas de bijection
$h\in {\rm Aff}(\RR^2)$ telle que
l'on a $\Ga_2^\La=h\circ \Ga_1\circ h^{-1}$.
Remarquons par contre que $\Ga_2^\La$ est {\it polynomialement
conjugué} à $\Ga_1$ c'est-à-dire que l'on peut
choisir un tel $h$ dans ${\rm P}(\RR^2)$: par
exemple la bijection $h:(x,y)\mto (x+\frac 12y^2,y)$
conjugue $\Ga_1$ et $\Ga_2^{\mathbb{Z}^2}$
(voir la figure \ref{ouvert41eps}).
\vs

L'analogue des premier et troisième théorèmes de Bieberbach
pour le plan affine s'é\-nonce alors:

\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert41}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert42}
\end{minipage}
}
\caption{\label{ouvert41eps}
\footnotesize Les pavages affines périodiques du plan}
\vspace{3em}

\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert61}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert62}
\end{minipage}
}
\vspace{1em}

\centerline{\normalsize \rm \addtocounter{figure}{1}\footnotesize \textsc{\small Figure
\thefigure}. 
Une variante de la figure \ref{ouvert41eps}}
\end{figure}

\bt[Kuiper, 1953]
\label{planaffineperiod}\mbox{}\par
\noindent
1) Tout groupe cristallographique affine $\Ga$ du plan
admet un sous-groupe d'indice fini qui
est affinement conjugué
au groupe $\Ga_1$ ou à un des groupes $\Ga_2^\La$.\\
2) Il n'existe qu'un nombre fini de
classes d'isomorphismes de groupes cristallographiques
affines du plan.
\et


L'analogue polynomial du premier théorème de Bieberbach
pour le plan serait:

\bqu[Dekimpe, 1998]
Tout groupe cristallographique polynomial du plan
admet-il un sous-groupe d'indice fini qui
est polynomialement conjugué
au groupe des translations entières?
\equ

\rem La réponse à cette question est positive si
$\Ga$ est {\it de degré borné} c'est à dire si
les degrés des applications polynomiales de ce groupe
sont uniformément bornés.
\vs

Nous énoncerons l'analogue du deuxième théorème
de Bieberbach pour le plan affine
dans la proposition \ref{bieberbachaffine2} en même temps
que son analogue en dimension supérieure.


%52
\subsection{Pavages périodiques de l'espace affine}
\label{subespaceaffineperiod}
\bq
Énonçons maintenant l'analogue des théorèmes de
Bieberbach pour l'es\-pace affine.
\eq

En dimension $n\geq 3$, les groupes cristallographiques
affines ne contiennent pas toujours un
sous-groupe d'indice fini abélien. En voici quelques exemples.

Fixons une matrice $A$ de taille
$(n\! -\! 1)\times (n\! -\! 1)$ à coefficients entiers
et de déterminant~$1$. Par exemple,
$A= \begin{smallpmatrix}d&1\\-1&0\end{smallpmatrix}$ avec $d\geq 2$.
Pour $(p,q)$ dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{n-1}$, on note $\tau_A^{p,q}$
la bijection affine de $\RR^n$
donnée par, pour tout $t$ dans $\RR$ et $x$ dans $\RR^{n-1}$,
$$\tau_A^{p,q}: (t,x)\mto (t+p,A^px+q).$$
Le groupe
$$\Ga_A:= \{\tau_A^{p,q}\mid (p,q)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{n-1}\}$$
est un tel groupe cristallographique affine.
\vs

Nous aurons besoin de la notion de groupe virtuellement polycyclique.
Elle se définit par récurrence: \\
-- Le seul groupe {\it poly-$\mathbb{Z}$ de rang $0$} est le groupe trivial. \\
-- Un groupe est dit {\it poly-$\mathbb{Z}$ de rang $n$} si il existe un morphisme
de groupes surjectif $\ph$ de $\Ga$ dans $\mathbb{Z}$
tel que le noyau ${\rm Ker} \ph $ est un groupe
poly-$\mathbb{Z}$ de rang $n-1$.\\
-- Un groupe est dit {\it poly-$\mathbb{Z}$} si il est
poly-$\mathbb{Z}$ de rang $n$ pour au moins un $n$. \\
-- Un groupe est dit {\it virtuellement polycyclique}
si il contient un sous-groupe d'indice fini poly-$\mathbb{Z}$.


\bex
\label{expolycyclique}\mbox{}\par\nopagebreak
\noindent
a) Montrer que le groupe $\mathbb{Z}^n$ est poly-$\mathbb{Z}$ de rang $n$.\\
b) Montrer que le groupe $\Ga_A$ est poly-$\mathbb{Z}$ de rang $n$.
\eex

L'analogue affine du premier théorème de Bieberbach
serait la réponse positive
à la question suivante
qui n'est connue qu'en petite dimension
($n\leq 6$, voir \cite{abelssoifer}):

\bqu[Auslander, 1964]
Tout groupe cristallographique affine
est il virtuellement polycyclique?
\equ

L'analogue affine du troisième théorème de Bieberbach
est un énoncé analogue au théorème de Borel
dont la démonstration est assez facile car
on peut choisir les groupes $\Ga_i$
parmi les groupes polycycliques $\Ga_A$.:
\vs

{\it Pour tout $n\geq 3$, il existe une famille infinie de
groupes cristallographiques affines $\Ga_i$ de l'espace $\RR^n$ tels
que, pour $i\neq j$, aucun sous-groupe d'indice fini de
$\Ga_i$ n'est isomorphe à un sous-groupe d'indice fini de
$\Ga_j$.}
\vs

Signalons que cependant, il
existe des groupes virtuellement polycycliques qui ne
contiennent aucun sous-groupe d'indice fini isomorphe
à un groupe cristallographique affine:
les premiers exemples connus étaient de rang $11$ (voir
\cite{benoistjdg}),
il existe maintenant des exemples de rang $10$ (voir
\cite{burde}).

Néanmoins, P.\,Igodt et K.\,Dekimpe ont montré que
tout groupe virtuellement
polycyclique contient un sous-groupe d'indice fini
isomorphe
à un groupe cristallographique polynomial
de degré borné (voir \cite{dekimpeigodt}).
\vs


L'analogue affine du deuxième théorème de Bieberbach
est valable en toute dimension $n\geq 1$:

\bt[Fried \& Goldman, 1983]
\label{bieberbachaffine2}
Tout isomorphisme de~grou\-pes abstraits $\ph:\Ga\ra\Ga'$
entre deux groupes cristallographiques affines
qui sont virtuellement polycycliques
est de la forme
\[
\ph (g)= h\circ g\circ h^{-1},
\]
où $h$ est dans ${\rm P}(\RR^n)$.
\et

\rem Ce théorème s'étend aux groupes cristallographiques
polynomiaux de degré borné.

%53
\subsection{Pavages périodiques des ouverts du plan affine}
\label{subouvertaffine}

\bq
Nous nous intéressons dans cette section aux pavages affines
qui ne recouvrent pas tout l'espace $\RR^n$ mais seulement une
partie.
\eq

Soient $\Om$ un ouvert de $\RR^n$, ${\cal P}$ un pavage affine
périodique de $\Om$ et $\Ga$ le groupe de symétrie de ce
pavage. On dit alors que $\Om$ est un ouvert (affinement)
{\it divisible} et que $\Ga$ est un groupe cristallographique
affine de cet ouvert $\Om$.

En dimension $2$, on peut construire
les quatre familles d'exemples
suivantes.


\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert43}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert44}
\end{minipage}
}
\caption{\label{ouvert43eps}
\footnotesize Les pavages affines périodiques du demi-plan}
\vspace{3em}

\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert63}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert64}
\end{minipage}
}
\vspace{1em}

\centerline{\normalsize \rm \addtocounter{figure}{1} \footnotesize \textsc{\small Figure
\thefigure}.
Une variante de la figure \ref{ouvert43eps}}
\end{figure}


\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert45}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert46}
\end{minipage}
}
\caption{\label{ouvert45eps}
\footnotesize Les pavages affines périodiques du quart de plan et
du plan épointé}
\vspace{3em}

\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert65}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{ouvert66}
\end{minipage}
}
\vspace{1em}

\centerline{\normalsize \rm \addtocounter{figure}{1}\footnotesize \textsc{\small Figure
\thefigure}. 
Une variante de la figure \ref{ouvert45eps}}
\end{figure}



Pour $(p,q)$ dans $\RR^2$, et $i=3,\dots,6$ on note $\tau_i^{p,q}$
les bijections affines de $\RR^2$
données par
$$\begin{array}{lll}
\tau_3^{p,q}: (x,y)&\mto &(x+p,e^q y)\\
\tau_4^{p,q}: (x,y)&\mto &(e^q (x+py),e^q y)\\
\tau_5^{p,q}: (x,y)&\mto &(e^p x,e^q y) \\
\tau_6^{p,q}: (x,y)&\mto &(e^q (\cos (p) x+\sin(p)y),
e^q (-\sin(p) x +\cos(p) y)).
\end{array}$$

Pour $i=3,\dots,6$ et pour tout réseau
$\La$ de $\RR^2$,
les groupes
$$\Ga_i^\La:= \{\tau_i^{p,q}\mid (p,q)\in \La\} $$
sont, respectivement,
des groupes cristallographiques affines
$$\begin{array}{lrl}
\mbox{\rm du demi-plan}&
\Om_3=\Om_4:=&\{ (x,y)\in \RR^2\mid y>0\},\\
\mbox{\rm du quart de plan}&
\Om_5:=&\{ (x,y)\in \RR^2\mid x>0,\; y>0\},\\
\mbox{\rm du plan épointé}&
\Om_6:=&\{ (x,y)\in \RR^2\mid (x,y)\neq (0,0)\}
\end{array}$$
(avec la restriction, pour $\Ga_6^\La$, que le réseau $\La$
contienne le vecteur $(2\pi,0)$).

Tous ces groupes sont abéliens.

Le théorème suivant est
l'analogue des premier et troisième théorèmes de Bieberbach
pour les ouverts du plan affine. Il affirme que
ces exemples sont les seuls en dimension $2$.
Ils sont dessinés dans les figures \ref{ouvert43eps} et
\ref{ouvert45eps}.

\bt[Benzecri, 1959]
\label{ouvertaffineperiod}
Soit $\Gamma$ un groupe cristallographique affine
d'un ouvert $\Om$ de $\RR^2$ tel que $\Om\neq\RR^2$.\\
1) Alors, il existe un sous-groupe d'indice fini abélien $\Ga'$
de $\Ga$ et une bijection affine $h$ de $\RR^2$ qui conjugue
$\Ga'$ à l'un des groupes $\Ga_i^\La$ et envoie $\Om$
sur $\Om_i$, avec $i=3,4,5$ ou $6$.\\
2) Il n'existe qu'un nombre fini de
classes d'isomorphismes de groupes cristallographiques
affines pour les ouverts du plan.
\et

La démonstration permet de mieux
comprendre cette liste (voir \cite{benzecri} ou \cite{naganoyagi}).
En effet, la démonstration est basée
sur l'étude des sous-groupes
abéliens connexes maximaux du groupe ${\rm Aff}(\RR^2)$.
Il en existe~$7$ à conjugaison affine près.
Ce sont les groupes
$$G_i:=\{\tau_i^{p,q}\mid (p,q)\in \RR^2\},$$
pour $i=1,\ldots,7$, où la seule transformation affine
que nous n'ayons pas encore définie est:
$$\tau_7^{p,q}: (x,y)\mto (x+p+qy,y).$$
Le groupe $\Ga_7^\La$ correspondant ne peut pas convenir car
il laisse stable les droites horizontales.
\vs

En dimension $n\geq 3$, la description des groupes
cristallographiques affines des ouverts $\Om$
de $\RR^n$, n'est pas connue.
Par exemple, la réponse à la question suivante
n'est connue que pour $n=2$.

\bqu[Markus, 1962]
A-t-on l'équivalence: $$\Om=\RR^n\Longleftrightarrow
\forall g \in \Ga \;\det g =\pm 1\,?$$
\equ

Pour $n=2$, la réponse à cette question
est positive: dans les figures \ref{ouvert41eps}, les tuiles
ont même aire, mais pas dans les figures \ref{ouvert43eps} et~\ref{ouvert45eps}.

Pour d'autres exemples d'ouverts $\Om$ de $\RR^n$
admettant des pavages affines périodiques,
voir les surveys \cite{carriere} et \cite{benoistcm}.


%54
\subsection{Pavages apériodiques du plan affine}
\label{subplanaffineaperiod}

\bq
Oublions de nouveau ces généralités et
construisons maintenant,
pour tout polygone convexe à $p$ côtés $P_0$, des pavages affines
du plan avec $P_0$ pour seule tuile standard.
Cette construction,
qui semble nouvelle,
donne donc une réponse positive à un analogue
affine de la question de Penrose.
\eq

Rappelons que le polygone régulier à $p$ côtés
est le polygone convexe du plan euclidien
dont les sommets $x_1,\ldots,x_p$ sont donnés par
$x_k=(\cos\sfrac{2k\pi}{p},\sin\sfrac{2k\pi}{p})$.
\vs


Soit $d\geq 3$. Nous dirons qu'un pavage ${\cal P}$ par
des polygones convexes est \\
-- {\it régulier} si,
pour toutes tuiles $P$ et $Q$ de ${\cal P}$, tout
sommet de $P$ qui est dans $Q$ est un sommet de $Q$,\\
-- {\it de valence $d$} si chaque sommet
du pavage est exactement dans $d$ tuiles de ${\cal P}$.

\bp
\label{affineaperiod}
Soient $p\geq 3$ et $P_{0}$ un polygone
convexe à $p$ côtés. Alors \\
a) Il existe un pavage affine ${\cal P}$ du plan
avec $P_{0}$ pour seule tuile standard.\\
b) Si $p\geq 7$, cette tuile standard $P_0$
ne permet pas de pavage affine périodique du plan.\\
c) Si $p\geq 7$
et si $P_{0}$ est un polygone régulier,
on peut choisir ${\cal P}$ régulier de valence $3$.
\ep

On dira qu'un polygone $P$ est {\it étoilé} (en $0$) si,
pour tout $t$ dans $[0,1[$, on a $tP\subset\stackrel{\circ}{P}$.



\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{aperiod51}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{aperiod52}
\end{minipage}
}
\caption{\label{aperiod51eps}
\footnotesize Un pavage affine apériodique du plan
par des pentagones réguliers}
\end{figure}

\begin{figure}[th]
\centerline{\includegraphics[height=11cm,width=11cm]{aperiod53}}
\caption{\label{aperiod53eps}
\footnotesize Suite de la figure \ref{aperiod51eps}}
\end{figure}




\dem
a) On reprend la même méthode qu'en
\ref{subplanhyperboliqueperiod}: on va encore construire, par
récurrence, le pavage sur un polygone $P^{(n)}$
en ajoutant à chaque étape une couronne de tuiles.
La principale différence avec \ref{subplanhyperboliqueperiod}
est que $P^{(n)}$ ne sera pas convexe mais étoilé.

On suppose $p\geq 4$. On suppose aussi que le point $0$
est dans $\stackrel{\circ}{P_0}$
et on part de $P^{(0)}=P_0$. Au cran $n$, $P^{(n)}$ est
un polygone étoilé pavé par des tuiles images affines de $P_0$
telles que chaque sommet $y_1,\ldots,y_{q}$
de $P^{(n)}$ appartient à au plus
deux tuiles du pavage, le dernier $y_q$ étant dans une seule tuile.
Pour construire $P^{(n+1)}$ à partir de $P^{(n)}$,
on ajoute successivement deux nouvelles tuiles autour
de ces sommets et on construit ainsi une
suite croissante
$$P^{(n)}=Q_0\subset \ldots \subset Q_q= P^{(n+1)}$$
de polygones étoilés avec
$y_1,\ldots, y_{k}$ dans l'intérieur
$\stackrel{\circ}{Q_k}$ et
$y_{k+1},\ldots, y_q$ sur le bord $\partial Q_k$.

Pour construire $Q_{k}$ à partir de $Q_{k-1}$,
on note $y'_k$ et $y''_k$ les deux sommets de $Q_{k-1}$
voisins de $y_k$ et on ajoute à $Q_{k-1}$
deux polygones, images affines de $P_0$,
le premier $P_1$ admettant
$[y_k,\la y_k]$ et $[y_k,y'_k]$ pour côtés,
le deuxième $P_2$ admettant
$[y_k,\la y_k]$ et $[y_k,y''_k]$ pour côtés.
Le point clef de cette démonstration est que,
si $Q_{k-1}$ est étoilé et
si on choisit le réel $\la$ suffisamment grand,
le polygone
$$Q_{k+1}:= Q_k\cup P_1\cup P_2$$
est encore étoilé.

Finalement le polygone $P^{(n+1)}$ ainsi construit est étoilé
et vérifie la même propriété que $P^{(n)}$.
On peut adapter le choix des réels $\la$ de sorte que
$P^{(n)}$ contienne la boule de rayon $n$.
On obtient bien ainsi le pavage affine du plan cherché


b) Plus généralement, il n'existe pas de pavage affine
périodique ${\cal P}$ du plan dont les tuiles sont
des polygones convexes à $7$ côtés ou plus.

La démonstration est proche de celle de l'exercice
\ref{expgeq7}. D'après le théorème \ref{planaffineperiod},
Il existe un groupe $\Ga$ de symétries du pavage
qui est polynomialement conjugué
au groupe des translations entières.
La surface quotient $\Si:=\Ga\backslash \RR^2$ est
donc un tore sur laquelle on peut dessiner l'image de ${\cal P}$.
Notons $S$, $A$ et $F$ les nombre de sommets, d'arêtes et de faces
de cette image.

La formule d'Euler assure alors que $S-A+F=0$.

Comme la valence de chaque sommet minorée par $3$, on a $2A\geq 3S$.

Comme chaque chaque face a au moins $7$ arêtes, on a $2A\geq 7F$.

Contradiction.


\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{aperiod71}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{aperiod72}
\end{minipage}
}
\caption{\label{aperiod71eps}
\footnotesize Un pavage affine apériodique du plan de valence $3$
par des heptagones réguliers}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=11cm,width=11cm]{aperiod73}}
\caption{\label{aperiod73eps}
\footnotesize Suite de la figure \ref{aperiod71eps}}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=11cm,width=11cm]{aperiod74}}
\caption{\label{aperiod74eps}
\footnotesize Suite de la figure \ref{aperiod73eps}}
\end{figure}

c) Notons $Q_0$ le polygone hyperbolique régulier à
$p$ côtés d'angles $\sfrac{2\pi}{d}$
construit dans l'exercice \ref{expgone}, notons
$\Ga$ le groupe cristallographique hyperbolique
engendré par les symé\-tries par rapport au côtés
de $Q_0$ et notons
$${\cal Q}:=\{gQ_0\mid g\in \Ga\}$$
le pavage périodique du plan hyperbolique
construit dans la proposition \ref{pavageplanhyp}.
Ce pavage est régulier et de valence $d$.

Dessinons ce pavage dans le modèle hyperboloïde $H_2$.
Les sommets $v_1,\ldots,v_p$ de $Q_0$
sont alors dans un plan affine parallèle au
plan $$V_0:=\{ v=(x_0,x_1,x_2)\in V\mid x_0=0\}.$$
Dessinons maintenant l'enveloppe convexe $Q'_0$ de ces sommets dans~$V$. C'est un polygone euclidien régulier.
Géométriquement, la réunion
$$\Ga Q'_0:=\bigcup_{g\in \Ga}gQ'_0$$
est une \og approximation polygonale\fg
du demi-hyperboloïde.

Choisissons maintenant un point $w_0$ de $H_2$ et
notons $\pi_0:V\ra V_0$ la projection parallèlement à $w_0$.
Comme la restriction de $\pi_0$ à $\Ga Q'_0$ est injective,
l'ensemble
$${\cal P}:= \{\pi_0(gQ'_0)\mid g\in \Ga\}$$
est
un pavage affine régulier de valence $d$ avec une seule tuile
standard~$P_{0}$.
\hb

\rems
\noindent
-- Le pavage que nous avons construit en a) est régulier et,
lorsque $p\geq 4$,
la valence de chaque sommet est majorée par $5$.
Pour tout entier $d\geq 5$,
il est possible de modifier cette construction
pour que la valence du pavage soit égale~à~$d$.\\
-- La construction donnée en c) admet une réciproque:

\bp
Soit $P_{0}$ un polygone régulier à $p$ côtés
et ${\cal P'}$ un pavage affine
régulier de valence $3$ du plan
avec $P_0$ pour seule tuile standard.
Alors, \\
-- soit $p=6$ et ${\cal P'}$
est le pavage euclidien hexagonal,\\
-- soit $p\geq 7$
et ${\cal P'}$ est le pavage apériodique obtenu par la
construction donnée dans la proposition
\ref{affineaperiod}.c.
\ep

\dem
On reprend
la construction du c).
Il suffit alors de remarquer que \\
-- la position de deux pavés
adjacents de ${\cal P'}$
détermine entièrement le pavage ${\cal P'}$.\\
-- si $p\geq 7$, on peut choisir
une application affine $\pi'_0:V\ra \RR^2$ qui envoie
deux pavés adjacents de $\Ga Q'_0$ sur nos deux pavés adjacents de~${\cal P'}$.
Le noyau de $\pi'_0$ rencontre forcément l'hyper\-boloïde $H_2$.
En conclusion, si on fixe une tuile $P_0$,
les pavages ${\cal P'}$ possibles sont paramétrés par les
points $v_0$ de $H_2$. Remarquons en particulier que,
si on remplace cette tuile de
référence par la tuile provenant d'un élément~$g$ de
$\Ga$, le paramètre $v_0$ est remplacé par $g^{-1}(v_0)$.
L'apériodicité de ${\cal P'}$ se déduit de cette remarque.\\
-- Si $p\leq 6$, on utilise un argument analogue,
en remplaçant le demi-hyperboloïde $H_2$ par un
paraboloïde elliptique.
Les détails
sont laissés au lecteur.
\hb\vs\enlargethispage{\baselineskip}

La construction donnée en c)
se généralise en dimension supérieure
dès que l'on sait construire un pavage de l'espace
hyperbolique avec une seule tuile $Q_0$
qui est un polyèdre hyperbolique convexe dont les sommets
sont sur une sphère de l'espace hyperbolique.
Si on utilise le pavage de l'espace hyperbolique $H_3$
par des icosaèdres réguliers à angles droit
(ce pavage se construit par la même méthode
que dans la proposition \ref{pavageplanhyp}),
on obtient:

\bc
Il existe un pavage affine régulier de l'espace affine
$\RR^3$ avec pour seule tuile standard l'icosaèdre régulier
(resp. le dodécaèdre régulier).
\ec

\bqu
Tout polyèdre convexe de $\RR^n$ permet-il un pavage affine de
$\RR^n$~?
\equ


%6
\section{Pavages projectifs}
\label{secprojectif}


\bq
Dans cette partie, nous commençons
par quelques rappels rapides sur l'espace projectif et
les transformations projectives.

Nous expliquerons ensuite comment adapter la
méthode de Poincaré pour cons\-truire
des ouverts convexes bornés du plan qui
admettent des pavages projectifs périodiques.

Nous terminons par une description sans démonstration
des propriétés de ces ouverts.
\eq

%61
\subsection{La sphère projective}
\label{subsphereprojective}
\bq
La géométrie projective est le point de vue des mathématiciens
sur la notion de perspective.
\eq

Un dessin en perspective est une reproduction sur un plan d'un objet de
l'espace ambiant, objet vu depuis un point noté $0$.
Le dessin est donc l'image de l'objet par une
\og projection centrale de centre $0$\fg.

Si le dessinateur choisit un autre plan et compare les dessins obtenus,
il obtient une application de comparaison du premier plan dans
le second. Remarquons que, lorsque le point $0$ est \og à l'infini\fg,
c'est-à-dire lorsque la projection est parallèle à une direction,
l'application de comparaison est une application affine.

Ce n'est plus le cas en général: l'application de comparaison
ne préserve pas toujours la notion de milieu;
en outre, elle n'est définie que sur un demi-plan.
Par contre cette application
de comparaison préserve l'alignement de trois points.
C'est cette propriété qui nous servira de définition
pour les transformations projectives.
\vs

L'algèbre linéaire permet de donner une présentation
élégante et précise de la géométrie projective:

On considère l'espace vectoriel $V=\RR^{n+1}$, avec $n\geq 2$,
qui jouera le rôle d'espace ambiant et on note
$\mathbb{S}^n:=\mathbb{S}(V)$ la sphère projective\footnote{
L'espace projectif $\mathbb{P}^n$ est l'ensemble
$\mathbb{P}(V):=\{\text{droites vectorielles de }V\}$.
Il~est obtenu en identifiant deux à deux
les points opposés de la sphère projective
de sorte que les hyperplans affines sont d'image dense dans $\mathbb{P}(V)$.
Il est beaucoup plus utilisé que la sphère projective
car sa définition se généralise immédiatement
à tous les corps. Il
n'interviendra pas dans la suite de cet exposé.
}
$$\mathbb{S}^n:=\{\text{demi-droites vectorielles de $V$}\}.$$
La projection centrale est remplacée
par l'application
$$\begin{array}{ccc}
V\! -\! \{ 0\}& \To{\pi}& \mathbb{S}^n \\
v&\mto &\RR^*_+v\;.
\end{array}$$
La sphère $\mathbb{S}^n$ s'identifie, bien sûr,
à l'aide de l'application $\pi$
à la sphère euclidienne de $\RR^{n+1}$.
Pour dessiner un objet de l'espace projectif, on choisit,
comme notre dessinateur, un
hyperplan affine $H$ de $V$ ne passant pas par l'origine.
La restriction $\pi|_H$ de l'application $\pi$ à $H$
permet d'identifier $H$ à son image $\pi(H)$.
La projection centrale de notre dessinateur est alors donnée,
là où elle est définie, par la formule
$(\pi|_H)^{-1} \circ \pi$.


Notons encore $(e_0,\ldots, e_n)$ la base canonique
de $\RR^{n+1}$ et $(e_0^*,\ldots,e_n^*)$ la base duale.
Pour $x$ dans $\mathbb{S}^n$,
les coordonnées $(v_0,\ldots,v_n)$ d'un point~$v$ de $\pi^{-1}(x)$
s'appellent les coordonnées {\it homogènes} du point~$x$.
Elles ne sont définies qu'à multiplication par un
scalaire près. On~note
$x=[v_0,\ldots,v_n]$

On prend souvent comme hyperplan affine, l'hyperplan affine
{\it horizontal} \footnote{
Dans cette terminologie, on représente donc $e_0$
par un vecteur vertical.}
$H_0$
parallèle à ${\rm Ker}(e_0^*)$ et passant par $e_0$,
autrement dit
$$H_0:=\{v=(v_0,\ldots,v_n)\in \RR^{n+1}\mid v_0=1\}.$$
Les coordonnées $(v_1,\ldots,v_n)$ sont appelées
les coordonnées {\it horizontales} du point
$x=[1,v_1,\ldots,v_n]$.

\bd
On dit que trois points $x_1,x_2,x_3$ de $\mathbb{S}^n$ sont alignés
si les trois demi-droites $\pi^{-1}(x_i)$ sont dans un
même $2$-plan de $V$.

Une partie $\Om$ de $\mathbb{S}^n$ est dite (proprement) convexe si
c'est l'image par $\pi$ d'une partie convexe et bornée
d'un hyperplan affine $H$ ne passant pas par l'origine.


Un ellipsoïde (projectif) est
une partie de $\mathbb{S}^n$ image par $\pi$
du cône de futur d'une forme lorentzienne sur $\RR^{n+1}$.

Une hypersphère (projective) est
une partie de $\mathbb{S}^n$ image par $\pi$
d'un hyperplan vectoriel $W$ de $\RR^{n+1}$.

\ed

Dans la suite, \og convexe\fg signifiera \og proprement convexe\fg.
Par exemple, un ellipsoïde est convexe.


%62
\subsection{Le groupe des transformations projectives}
\label{subgroupeprojectif}

\bq
Cette partie est un rappel sans démonstration
sur le groupe des transformations projectives.
\eq

\bd
On appelle transformation projective de $\mathbb{S}^n$
une bijection $g:\mathbb{S}^n\ra \mathbb{S}^n$ qui envoie tout triplet
de points alignés sur un triplet de points alignés.
\ed

Tout élément $g$ de ${\rm GL}(\RR^{n+1})$ envoie
demi-droite sur demi-droite et définit donc une
transformation projective de $\mathbb{S}^n$ encore notée $g$.
Le théorème fondamental de la géométrie projective
affirme que toutes les transformations projectives
sont obtenues ainsi.

Comme les éléments $g$
de ${\rm GL}(\RR^{n+1})$ qui agissent
sur la sphère projective par l'identité sont exactement
les homothéties de rapport positif,
le groupe des transformations projectives de $\mathbb{S}^n$
est le groupe\vspace*{-3pt}
$$G={\rm SL} ^{\pm}(\RR^{n+1}):=
\{g\in {\rm GL}(\RR^{n+1})\mid \det (g) =\pm 1\}.$$

Écrivons $g$ comme une matrice bloc
$\begin{smallpmatrix}\la &f\\v&A\end{smallpmatrix}$,
où $\la$ est un réel, $v$ un vecteur colonne,
$f$ un vecteur ligne et $A$ une matrice $n\times n$.
Dans le système de coordonnées horizontales,
la transformation projective $g$ est donnée par la
formule\footnote{
Les applications de comparaison de notre introduction
en \ref{subsphereprojective} sont donc aussi données
par une formule analogue.}\vspace*{-3pt}
$$g(x)=\frac{A\cdot x+v}{f(x)+\la}.$$

Deux familles de transformations projectives nous seront
utiles:

-- Une {\it symétrie hyperplane} $s$ est un élément
de ${\rm SL} ^{\pm}(\RR^{n+1})$ égal à l'identité sur
un hyperplan $W$
et à moins l'identité sur une droite $\De$.
On choisit une forme linéaire $f_0$ de noyau $W$
et un vecteur $v_0$ de $\De$ tel que $f_0(v_0)=1$ et
on note $s= s_{f_0,v_0}$ cette symétrie hyperplane. Elle
est donnée par, pour tout $v$ dans $V$,\vspace*{-3pt}
$$s_{f_0,v_0}(v)=v-2f_0(v)v_0.$$

-- Une {\it rotation projective} $r$ est un élément
de ${\rm SL} ^{\pm}(\RR^{n+1})$ qui dans une base convenable
de $\RR^{n+1}$ a pour matrice:
$$
\left(
\begin{array}{ccccc}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 & \cdots & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 & \cdots &0 \\
0 & 0 &1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right)
.$$
Le réel $\theta \in [0,\pi]$ est l'{\it angle} de la rotation
et le sous-espace ${\rm Ker}(s-1)$ est son {\it axe}.
\vs

Calculons maintenant le produit de deux symétries hyperpla\-nes.
Pour cela, on introduit le {\it birapport} $[f_1,f_2,v_1,v_2]$
de deux~formes liné\-aires $f_1,f_2\!\in\! V^*$ et deux vecteurs
$v_1,v_2\!\in\! V$, tels que \hbox{$f_1(v_1)f_2(v_2)\!\neq\! 0$},
par la formule
$$[f_1,f_2,v_1,v_2]:=\frac{f_1(v_2)f_2(v_1)}{f_1(v_1)f_2(v_2)}.$$
Par construction,
cette formule ne dépend que des noyaux
des formes linéaires $f_i$ et
des droites
engendrées par les vecteurs $v_i$.
En dimension $n=1$, on retrouve le birapport de quatre
points de la droite projective.
Si on note $v'_i$ le point de ${\rm Ker}(f_i)$ aligné
avec $v_1$ et $v_2$, ce~birapport n'est rien d'autre
que le birapport des quatre points alignés
$v'_1$, $v'_2$, $v_1$, $v_2$.

\bex
Soient $s_1=s_{f_1,v_1}$ et $s_2=s_{f_2,v_2}$ deux symétries
hyper\-planes.
On suppose que $ 0<[f_1,f_2,v_1,v_2]<1$.
Montrer que le produit $s_1s_2$ est une rotation projective
dont l'angle $\theta$ est donné par
$\cos^2\sfrac\theta 2 =[f_1,f_2,v_1,v_2]$.
Déterminer l'axe de $s_1s_2$.
\eex

\subsubsection*{Indication}
Calculer la trace de $s_1s_2$.



%63
\subsection{Construction de pavages projectifs périodiques
des convexes du plan}
\label{subconvexedivisible}

\bq

Lorsqu'on dessine les pavages de l'espace hyperbolique dans
la boule projective, on obtient un pavage projectif de
l'ellipsoïde
$\pi(\Om_n)$, autrement dit, les transformations $g$
qui déplacent les pavés standards
sont des transformations projectives
(voir figures \ref{proj5eps} et \ref{proj7eps}).
La fin de cet exposé est consacré aux ouverts convexes
de $\mathbb{S}^2$ qui admettent un tel pavage.
\eq


On suppose désormais que $n\!=\!2$. (pour le cas $n\!\geq\! 3$,
on renvoie à~\cite{benoistcras})
\vs

Soit donc $\Om$ un ouvert convexe de la sphère projective
$\mathbb{S}^2$ admettant
un pavage projectif périodique ${\cal P}$.
On dit alors que le convexe $\Om$ est (projectivement)
{\it divisible}.
On note alors $\Ga\subset {\rm SL}^\pm(\RR^3)$
le groupe de symétrie de
ce pavage. C'est un groupe cristallographique
projectif de $\Om$, autrement dit,
c'est un groupe de transformations projectives
qui préservent l'ouvert $\Om$ avec un quotient
$\Ga\backslash\Om$ compact.


\rem Le cône convexe $C:=\pi^{-1}(\Om)$ est alors
un ouvert (affinement) divisible de $\RR^3$.
En effet, le sous-groupe $\De$
de ${\rm GL}(\RR^3)$,
engendré par $\Ga$ et une homothétie, est un groupe
cristallographique affine de~$C$.
Le sujet de cette section
n'est donc qu'un cas particulier de celui
que nous avions étudié dans la section
\ref{subouvertaffine}.
\vs

L'exemple le plus simple d'ouvert convexe divisible
de $\mathbb{S}^2$ est le triangle:
$$T_2:=\{[1,x,y]\in \mathbb{S}^2\mid x>0,\; y>0 \; {\rm et}\; x+y<1\}.$$
Le triangle $T_2$ est divisible car la transformation
projective
$$[1,x,y]\longmapsto [1,\sfrac{x}{(x+y-1)},\sfrac{y}{(x+y-1)}]$$
envoie $T_2$ sur le quart de plan
$\Om_5:=\{[1,x,y]\in \mathbb{S}^2\mid x>0,\; y>0 \}$
qui admet un groupe cristallographique affine
(le groupe $\Ga_5^\La$ de la section~\ref{subouvertaffine}).

Le premier exemple d'ouvert divisible autre que
les ellipsoïdes et les triangles est dû
à Kac et Vinberg en 1967.
Des familles d'exemples ont été peu après construites
par Koszul en 1968. La construction suivante
analogue à celle de Poincaré
(proposition \ref{pavageplanhyp})
permet aussi d'obtenir quelques exemples.


\bd
On appelle polygone projectif
une partie de $\mathbb{S}^2$ image par $\pi$ d'un polygone
d'un plan affine $H$ de $\RR^3$ ne passant pas par l'origine.
\ed


\bp
\label{pavageplanproj}
On part d'un polygone projectif convexe $P_0$ de côtés
$(c_i)_{1\leq i\leq p}$, et on choisit,
pour $i=1,\ldots,p$,
des symétries hyperplanes
$s_i\in {\rm SL}^\pm (\RR^3)$ qui fixent
point par point le côté $c_i$
de sorte que (en~notant $s_0:=s_p$)
les produits $s_is_{i-1}$ soient des rotations projectives
dont les
angles sont de la forme $\al_i=\sfrac{2\pi}{d_i}$ où
$d_i$ est un entier pair supérieur ou égal à $10$.
On note $\Ga$ le groupe engendré par ces symétries~$s_i$.

Alors la famille ${\cal P}:=\{g(P_0)\mid g\in \Ga\}$
est un pavage projectif périodique d'un ouvert (proprement)
convexe $\Om$ de la sphère projective~$\mathbb{S}^2$ qui n'est pas un triangle.
\ep

\rem On peut affaiblir l'hypothèse
$d_i\geq 10$ grâce à \cite{choigoldman}.


\dem L'hypothèse $d_i\geq 10$
nous permet de recopier sans changement notable
la démonstration de la proposition
\ref{pavageplanhyp}. L'ouvert $\Om$ est obtenu
comme réunion d'une suite croissante de polygones
convexes $P^{(n)}$. Comme il n'existe pas de plan, de droite,
de couple de droites, ni de triplet de droites, qui
soit stable par toutes les symétries~$s_i$,
l'ouvert $\Om$ est (proprement) convexe
et n'est pas un triangle.~\hb

\rem On peut choisir les symétries $s_i$ de sortent qu'elles
ne préservent pas de forme quadratique et
donc que $\Om$ ne soit pas un ellipsoïde.
Par exemple, si on prend pour polygone $P_0$ le triangle
dont les sommets $x_0$, $x_1$, $x_2$ sont les images par
$\pi$ de la base $e_0$, $e_1$, $e_2$ de~$\RR^3$, on peut
prendre pour symétries hyperplanes:
$$\arraycolsep3.5pt
s_0:=\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 &0 \\
\la & 1 & 0 \\
\mu & 0 & 1
\end{array}
\right)
,\;
s_1:=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & \mu & 0 \\
0 &-1 & 0 \\
0 & \la & 1
\end{array}
\right)
\;{\rm et}\;
s_2:=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & \la \\
0 &-1 & \mu \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
$$
avec $\la\mu=4\cos^2(\sfrac{2\pi}{d})$ et $\la\neq\mu$.
Les quatre dessins de la figure \ref{divisibleeps}
montrent comment l'ouvert $\Om$ se déforme lorsque
$\la/\mu $ s'éloigne de $1$.
\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{divisible1}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{divisible2}
\end{minipage}
}
\vspace{3em}
\centerline{
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{divisible3}
\end{minipage}
\ \hspace{2cm} \
\begin{minipage}[t]{4cm}
\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{divisible4}
\end{minipage}
}
\caption{\label{divisibleeps}
\footnotesize
Pavages projectifs d'ouverts convexes du plan obtenus
par déformation à partir 
d'un pavage hyperbolique dans la boule projective.
Le bord de ces convexes est de classe C$^1$!!
... mais sa courbure est concentrée
sur une partie de mesure nulle
(figure extraite de \cite{benoistcras}).}
\end{figure}

%64
\subsection{Pavages projectifs périodiques des convexes du plan}
\label{subpavageprojectif}
\bq
Maintenant que nous savons qu'il existe des
ouverts convexes divisibles,
énonçons sans démonstration
quelques unes de leurs propriétés
\eq


Pour les convexes de la sphère projective $\mathbb{S}^2$,
l'analogue des premier et troisième théo\-rèmes de
Bieberbach se réduisent aux théorèmes de Selberg et de
Poincaré (théorèmes \ref{selpointeich}.a et
\ref{selpointeich}.b). Inutile de les réénoncer.

L'énoncé de l'analogue du deuxième théorème de
Bieberbach est proche de celui du théorème de
Teichmüller (théorème \ref{selpointeich}.c):


\bt[Goldman,1990]
\label{16g-16}
Pour $g\geq 2$, l'ensemble des isomorphismes
du groupe $\Ga_{(g)}$ sur un groupe cristallographique d'un
ouvert convexe de la sphère projective $\mathbb{S}^2$,
modulo conjugaison par une transformation projective, est
un espace topologique homéomorphe à $\RR^{16g-16}$.
\et

\rems
\noindent -- La dimension $16g-16$
au lieu de $6g-6$ vient de ce
${\rm SL}^\pm(\RR^3)$ est de dimension $8$ au lieu de $3$
pour le groupe $O^+(q)$.\\
-- L'homéomorphisme donné par Goldman est concret:
il permet de construire explicitement tous les
ouverts convexes divisibles de la sphère projective
$\mathbb{S}^2$.
\vs

Dans toutes les constructions d'ouvert convexe divisible $\Om$,
on construit d'abord le groupe $\Ga$.
La difficulté à appréhender ces ouverts $\Om$
est expliquée par la faible régularité de leur bord.

\bt[Benzecri, 1960]
\label{bordnonc2}
Soit $\Om$ un ouvert convexe divisible
de la sphère projective $\mathbb{S}^2$.
On suppose que $\Om$ n'est ni un triangle ni une ellipse.
Alors le bord $\partial \Om$ est une courbe de classe
${\rm C}^1$, nulle part de classe ${\rm C}^2$,
\og dont la courbure est concentrée sur une partie de mesure nulle\fg.
\et

Ce théorème a été généralisé en toute dimension
$n\geq 2$, dans \cite{benoistcras}.
Le bord $\partial \Om$ est l'analogue
de \og l'ensemble de Julia\fg pour les poly\-nômes complexes:
c'est, avec $-\partial \Om$,
l'adhérence de l'ensemble des points fixes attracteurs
des éléments $g$ de $\Ga$ dans la sphère projective.
En dépit de sa régularité ${\rm C}^1$,
le bord est un ensemble
fractal! L'aspect fractal de cette courbe est
\og inscrit dans sa dérivée\fg.
Cette remarque est un des nombreux liens fructueux
entre les pavages et les systèmes dynamiques.
\vs

Pour comprendre la signification de la
dernière assertion du théorème,
regardons localement et dans un système
de coordonnées affine le bord $\partial \Om$
comme le graphe d'une fonction convexe $f$.
La dérivée $g:=f'$ est donc une fonction croissante
[on peut montrer que cette fonction est une fonction
höldérienne, ce qui signifie que,
pour un $\varepsilon>0$, le quotient
$\sfrac{|g(s)-g(t)|}{|s-t|^\varepsilon}$
reste borné quand $s$ et $t$ sont proches].
Cette fonction $g$
n'est pas absolument continue:
elle est dérivable en dehors d'un ensemble
de mesure nulle à dérivée nulle
mais n'est pas constante.
\vs

Ces remarques donnent du relief à l'exercice
d'analyse réelle suivant (dont la solution
n'a pas de lien avec les pavages).

\begin{figure}[htb]
\centerline{
\begin{minipage}[t]{3.2cm}
\includegraphics[height=3.2cm,width=3.2cm]{diable1}
\end{minipage}
\  \
\begin{minipage}[t]{3.2cm}
\includegraphics[height=3.2cm,width=3.2cm]{diable2}
\end{minipage}
\  \raisebox{1.5 cm}{...} \
\begin{minipage}[t]{3.2cm}
\includegraphics[height=3.2cm,width=3.2cm]{diable3}
\end{minipage}
}
\caption{\label{diableeps}
\footnotesize
L'escalier du diable }
\end{figure}

\bex\mbox{}\par
\noindent
a) Montrer qu'il existe une fonction continue croissante
et non constante
$g:[0,1]\ra[0,1]$ telle que, pour tout $t$ dans
$[0,1]$ en dehors d'un ensemble
de mesure nulle,
$g$ est dérivable en $t$ et $g'(t)=0$.\\
b) Montrer qu'on peut choisir $g$ injective, höldérienne
et nulle part de classe ${\rm C}^1$.
\eex

\subsubsection*{Indication}
Pour a), on construira $g$ comme limite des fonctions $g_n$
dont les graphes sont donnés dans la figure \ref{diableeps}.\enlargethispage{\baselineskip}%


%7
\section{Appendice: le programme du pavage de Penrose}
\label{secprogramme}
{ \it
J'ai dessiné la plupart des figures de ce texte à l'aide de Maple V.

Voici, par exemple, le programme donnant la figure
\ref{penrose2eps}.}
\vs

\noi
On mémorise tout d'abord la liste des racines dixièmes de l'unité.
\small\tt\vs

\noi
$>$ for i to 9 do r.i:=evalf(exp(I*i*Pi/5)) od:
\normalsize\rm\vs

\noi
Une tuile de Penrose est repérée par T:=[n,a,c], où n=1 pour le
cerf-volant et 2 pour la flèche
et où a et c sont deux nombres complexes: le sommet le plus obtus et son
opposé.
La procédure autosim(T) remplace chaque cerf-volant par deux
cerf-volants plus une flèche
et chaque flèche par un cerf-volant plus une flèche.
\smaller\smaller\tt\vs

\noi
$>$ autosim:=proc(T) local n,a,c,o:\\
\hspace*{2ex} n:=T[1]: a:=T[2]: c:=T[3]: o:=c+(r2+r8)*(a-c):\\
\hspace*{2ex} if n=1 then [1,o,c+r1*(a-c)],[1,o,c+r9*(a-c)],[2,o+r6*(a-o),c]:\\
\hspace*{2ex} else [1,a,c],[2,c+r1*(a-c),a+r7*(c-a)]: fi: end:
\normalsize\rm\vs

\noi
La procédure polygone(T) transforme la tuile T en un polygone.
\smaller\smaller\tt\vs

\noi
$>$ polygone:=proc(T) local n,a,c,vec:\\
\hspace*{2ex} n:=T[1]: a:=T[2]: c:=T[3]:
vec:=a->[Re(a),Im(a)]:\\
\hspace*{2ex} if n=1\\
\hspace*{2ex} then POLYGONS([vec(a),vec(c+r1*(a-c)),vec(c),vec(c+r9*(a-c))]):\\
\hspace*{2ex} else
POLYGONS([vec(a),vec(a+r7*(c-a)),vec(c),vec(a+r3*(c-a))]):\\
\hspace*{2ex} fi: end:
\normalsize\rm\vs

\noi
La procédure pavage(n) part d'un seul cerf-volant et applique n
itérations du processus d'autosimilarité.
\smaller\smaller\tt\vs

\noi
$>$ pavage:=proc(n) local S,i,j:\\
\hspace*{2ex} S:=[[1,-2*I,3*I]]:\\
\hspace*{2ex} for i to n do S:=
[seq(autosim(S[j]),j=1...nops(S))]: od:\\
\hspace*{2ex} seq(polygone(S[j]),j=1...nops(S)): end:
\normalsize\rm\vs

\noi
Choix du nombre d'itérations et envoi du dessin.
\smaller\smaller\tt\vs

\noi
$>$ n:=9:P:=pavage(n):nops([P]);\\
\hspace*{2ex}
PLOT(P,AXESSTYLE(NONE),SCALING(CONSTRAINED),VIEW(-1...1,-1...1));
\normalsize\rm
\enlargethispage{\baselineskip}%

\backmatter
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups01-01}
\end{document}
